Consideramos DAG (gráficos acíclicos dirigidos) con un nodo fuente un nodo objetivo ; Se permiten bordes paralelos que unen el mismo par de vértices. A - corte es un conjunto de bordes cuya eliminación destruye todas las - caminos de más de ; ¡las rutas - cortas así como las rutas "internas" largas (aquellas que no están entre y ) pueden sobrevivir!
Pregunta: ¿Es suficiente eliminar como máximo una porción de de los bordes de un DAG para destruir todas rutas s - más largas que ?
Es decir, si denota el número total de aristas en G , ¿entonces cada DAG G tiene un corte k con a lo sumo aproximadamente e ( G ) / k aristas? Dos ejemplos:
- Si todas rutas s - t tienen una longitud > k , entonces existe un corte k con ≤ e ( G ) / k aristas. Esto es porque entonces debe haber k disjuntos k -cuts: solo la capa de los nodos de G de acuerdo a su distancia desde el nodo fuente s .
- Si es un torneo transitivo (un DAG completo), entonces también un corte k con ≤ k ( n / kexisten bordes: arregla un orden topológicode los nodos, divide los nodos en kintervalos consecutivos de longitudn/k, y elimina todos los bordes que unen los nodos del mismo intervalo; esto destruirá todosloscaminoss-tmás largos quek.
Nota 1: Un intento ingenuo para dar una respuesta positiva (que yo también probé como la primera) sería para tratar de demostrar que cada DAG debe tener acerca de disjuntos k -cuts. Desafortunadamente, el Ejemplo 2 muestra que este intento puede fallar gravemente: a través de un argumento agradable, David Eppstein ha demostrado que, para k, aproximadamente √ , ¡el gráficoTnno puede tener más de cuatrok-cortesdisjuntos!
Observación 2: Es importante que un -cut solo necesite destruir todas las rutas s - t largas , y no necesariamente todas las rutas largas. Es decir, existen 1 DAG en el que cada "puro" k -cut (evitando aristas incidentes a s o t ) debe contener casi todos los bordes. Entonces, mi pregunta en realidad es: ¿puede la posibilidad de eliminar también bordes incidentes con s o t reducir sustancialmente el tamaño de un corte k ? Lo más probable es que la respuesta sea negativa, pero todavía no pude encontrar un contraejemplo.
Motivación: Mi pregunta está motivada por probar límites inferiores para redes monótonas de conmutación y rectificación. Dicha red es solo un DAG, algunos de cuyos bordes están etiquetados por las pruebas "¿es ?" (no hay pruebas x i = 0 ). El tamaño de una red es el número de bordes etiquetados. Se acepta un vector de entrada, si hay una ruta s - t , todas cuyas pruebas son consistentes con este vector. Markov ha demostrado que, si una función booleana monótona f no tiene minterms más cortos que l y no maxterms más cortos que w ⋅ w , entonces el tamaño es necesario. Una respuesta positiva a mi pregunta implicaría que las redes de tamaño sobre son necesarias, si al menos las variables w k deben establecerse en 0 para destruir todos los minterms más largos que k .
1 La construcción se da en este documento. Tome un árbol binario completo de profundidad log n . Eliminar todos los bordes. Para cada nodo interno v , dibuje un borde hacia v desde cada hoja del subárbol izquierdo de T v , y un borde desde v hasta cada hoja del subárbol derecho de T v . Por lo tanto, cada dos hojas de T están conectadas por una ruta de longitud 2 en el DAG. El DAG en sí tiene ~ n nodos y ~ n log n bordes, pero Ω √ bordes deben eliminarse para destruir todos los caminos más largos que .