Dos variantes de NP

Aquí hay dos variaciones en la definición de NP. Definen (casi con certeza) clases de complejidad distintas, pero mi pregunta es: ¿hay ejemplos naturales de problemas que encajen en estas clases?

(Mi umbral para lo que cuenta como natural aquí es un poco más bajo de lo habitual).

Clase 1 (una superclase de NP): problemas con testigos de tamaño polinómico que requieren tiempo superpolinómico pero subexponencial para verificar. Para concreción, digamos tiempo . Esto es equivalente a la clase de lenguajes reconocidos por máquinas no deterministas que toman tiempo pero solo pueden hacer conjeturas poli (n) no deterministas. $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

¿Hay problemas naturales en la clase 1 que no se sabe o se cree que están en ni en ? $NP$ $DTIME(n^{O(\log n)})$

La clase 1 es una clase de idiomas, como de costumbre. La clase 2, por otro lado, es una clase de problemas relacionales:

Clase 2: una relación binaria R = {(x, y)} está en esta clase si

Hay un polinomio p tal que (x, y) en R implica | y | es como máximo p (| x |).
Hay un algoritmo de tiempo poli (| x |) A tal que, para todas las entradas x, si hay ay tal que (x, y) está en R, entonces (x, A (x)) está en R, y si no existe tal y, entonces A (x) rechaza.
Para cualquier algoritmo poli (| x |) de tiempo B, hay infinitos pares (x, w) de modo que B (x, w) difiere de R (x, w) (aquí estoy usando R para denotar su propia característica función).

En otras palabras, para todos los casos, algún testigo es fácil de encontrar si hay uno. Y sin embargo, no todos los testigos son fácilmente verificables.

(Tenga en cuenta que si R está en la clase 2, entonces la proyección de R en su primer factor es simplemente en P. Esto es lo que quise decir al decir que la clase 2 es una clase de problemas relacionales).

¿Existen problemas relacionales naturales en la clase 2?

— Joshua Grochow
fuente

No estoy seguro de la pregunta. ¿Quieres problemas que obviamente están en una de las clases pero no en la otra?

— Lev Reyzin

No. Para cada clase, me pregunto por separado si hay problemas naturales que encajan en la clase pero no se sabe que encajan en otras clases de complejidad estándar. Por ejemplo, me gustaría saber si hay un problema natural en la clase 1 que no se sabe que está en NP.

— Joshua Grochow

Creo que desea reescribir la condición 2 para la Clase 2, ya que de lo contrario A puede ser el algoritmo trivial que siempre rechaza. Su descripción verbal a continuación parece más sensata.

— Andy Drucker

Para la Clase 2, un ejemplo un tanto tonto es R (p, a) = {p es un polinomio entero, a está en el rango de p, y | a | = O (poli (| p |)}. R está en la clase 2 pero no se puede decidir.

— Andy Drucker

Andy: ¿por qué no publicar eso como una respuesta en lugar de un comentario?

— Joshua Grochow

Para la clase 2, un ejemplo un tanto tonto es

R (p, a) = {p es un polinomio entero, a está en el rango de p, y | a | = O (poli (| p |)}.

R está en la clase 2 pero indecidible.

— Andy Drucker
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{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

Ah, sí. Así es como me convencí a mí mismo también :). Gracias.

— Joshua Grochow

Le pediría que aclare un poco la condición de testigo en la clase 1. Parece que cualquier problema adecuadamente acotado de co-NP parece hacer el truco, ¿es esto lo que pretendías?

$\log n$

— Magnus Wahlström
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n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$ (Actualizaré la pregunta en consecuencia). Me pregunto si una versión de algún otro problema parametrizado podría funcionar, pero no estoy muy familiarizado con la complejidad parametrizada.

— Joshua Grochow

$f$

$f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

$\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Probablemente no esté en QP porque puede expresar todos los problemas en NP, y probablemente no esté en NP porque puede expresar todos los problemas en co-NTIME (polylog).

— Robin Kothari
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f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

Sí, supongo que eso funcionaría.

— Robin Kothari