vs

En nuestro trabajo reciente, resolvemos un problema computacional que surgió en un contexto combinatorio, suponiendo que , donde es el -versión de . El único artículo sobre que encontramos fue el artículo de Beigel-Buhrman-Fortnow 1998 que se cita en Complexity Zoo . Entendemos que podemos tomar versiones de paridad de problemas completos (vea esta pregunta ), pero tal vez muchos de ellos no estén completos en $\mathsf{EXP} \ne \mathsf{\oplus{}EXP}$ $\mathsf{\oplus{}EXP}$ $\mathsf{EXP}$ $\mathsf{\oplus{}P}$ $\mathsf{\oplus{}EXP}$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{\oplus{}EXP}$ .

PREGUNTA: ¿Existen razones complejas para creer que ? ¿Hay problemas combinatorios naturales que están completos en? ¿Hay algunas referencias que podríamos estar perdiendo? $\mathsf{EXP} \ne \mathsf{\oplus{}EXP}$ $\mathsf{\oplus{}EXP}$

— Igor Pak
fuente

Creo que las versiones de paridad de al menos algunos problemas NEXP-complete serían ⊕𝖤𝖷𝖯-completos por la misma razón, por ejemplo, SUCCINCT 3SAT. Las clases de paridad son "sintácticas" al igual que el no determinismo existencial, por lo que tiene los mismos métodos estándar para resolver problemas completos.

— Greg Kuperberg

Gracias Greg. Entiendo. Sin embargo, no todos los problemas funcionarán, por ejemplo, la paridad del número de 3 colores de los gráficos SUCCINCT es fácil.

— Igor Pak

El problema en su ejemplo de la paridad del número de 3 colores (que por supuesto es divisible por 6) es ortogonal a la pregunta planteada de las clases de complejidad de nivel EXP. La cuestión es si existe una reducción parsimoniosa, es decir, una reducción que conserve el número de testigos. Eso se sabe a menudo, pero a veces no. Por ejemplo, en el caso de los 3 colores, hay un hermoso artículo de Barbanchon (que vi recientemente por mis propios motivos) que ofrece una reducción parsimoniosa del SAT, excepto por el factor 6.

— Greg Kuperberg

Ah bien. Interesante. Lo encontré: Régis Barbanchon, en gráfico único 3-colorabilidad y reducciones parsimoniosas en el avión (2004).

— Igor Pak

@GregKuperberg: ¡Parece una respuesta! Tenga en cuenta que Valiant demostró ( people.seas.harvard.edu/~valiant/focs06.pdf ) que incluso

-completo.

\oplus 2 S A T

$\oplus 2SAT$

\oplus P

$\oplus \mathsf{P}$

— Joshua Grochow

En cuanto a los motivos de complejidad (en lugar de problemas completas): El Hartmanis-Immerman-Sewelson teorema también debe trabajar en este contexto, a saber: si y sólo si existe un conjunto polinómicamente escasa en . Dado cuán separados creemos que y están, por ejemplo, Toda demostró que - sería bastante sorprendente si no hubiera conjuntos dispersos en su diferencia. $\mathsf{EXP} \neq \oplus \mathsf{EXP}$ $\oplus \mathsf{P} \backslash \mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\oplus \mathsf{P}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{BPP}^{\oplus \mathsf{P}}$

Más directamente, si no hubiera conjuntos dispersos en su diferencia, diría que por cada verificador , si el número de cadenas de longitud con un número impar de testigos está limitado por , entonces el problema [ de decir si hay un número impar de testigos] debe estar en . Esto parece un hecho bastante sorprendente e improbable. $\mathsf{NP}$ $n$ $n^{O(1)}$ $\mathsf{P}$

— Joshua Grochow
fuente

No entiendo la última parte. Cualquier problema de NP puede expresarse de tal manera que el número de testigos sea siempre par, y 0 seguramente está polinomialmente limitado, por lo tanto, efectivamente está diciendo que P = NP, y no veo cómo eso sigue.

— Emil Jeřábek apoya a Monica

@Emil, el "verificador" dentro del paréntesis parece aclarar lo que Josh quiso decir.

— Kaveh

@ EmilJeřábek: De hecho, Kaveh lo entendió exactamente. Como señala, la declaración solo funciona realmente si habla de cada verificador NP, en lugar de cada problema NP. He editado la respuesta para que esto ya no sea un comentario entre paréntesis.

— Joshua Grochow

Lo siento, pero esto no aclaró nada. Si la declaración se aplica a todos los verificadores, en particular se aplica a los verificadores que siempre tienen un número par de testigos.

— Emil Jeřábek apoya a Monica

@ EmilJeřábek: Ah, sí, ahora veo tu confusión (creo). Aclarado El resultado me parece un poco menos sorprendente, pero no mucho (especialmente a la luz del resultado de Toda).

— Joshua Grochow