Esta fue una pregunta divertida para pensar. Como se describe en la otra respuesta y en los comentarios a continuación, hay una reducción de Turing del problema de Detención a la computación de la complejidad de Kolmogorov, pero en particular no existe tal reducción de muchos, al menos para una definición de 'computación de la complejidad de Kolmogorov'.
Definamos formalmente de qué estamos hablando. Deje que denote el lenguaje estándar de TM que se detiene cuando se le da una descripción de sí mismos como entrada. Deje K O denotan { ⟨ x , k ⟩ | x tiene la complejidad de Kolmogorov exactamente k } .HA L TKO{ ⟨ X , k ⟩ | x tiene la complejidad de Kolmogorov exactamente k }
Suponga que por alguna reducción de muchos. Sea f : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ denota la función que calcula esta reducción. Considere la imagen de H A L T debajo de f , que denotaré f ( H A L T ) .HA L T≤ KOF: { 0 , 1 }∗→ { 0 , 1 }∗HA L TFF( HA L T)
Nota consiste en cadenas de la forma ⟨ x , k ⟩ donde x tiene complejidad Kolmogorov exactamente k . Afirmo que las k que ocurren en f ( H A L T ) son ilimitadas, ya que solo hay un número finito de cadenas con la complejidad de Kolmogorov exactamente k , yf ( H A L T ) es infinito.F( HA L T)⟨ X , k ⟩XkkF( HA L T)kF( HA L T)
Como es recursivamente enumerable (también conocido como Turing-reconocible en algunos libros), se deduce que f ( H A L T ) es recursivamente enumerable. Combinado con el hecho de que los k 's son sin límites, podemos enumerar f ( H A L T ) hasta que encontremos alguna ⟨ x , k ⟩ con k tan grande como queremos; es decir, existe un TM M que en la entrada k da salida a algún elemento ⟨ x , k ⟩HA L TF( HA L T)kF( HA L T)⟨ X , k ⟩kMk .⟨x,k⟩∈f(HALT)
Escriba una nueva TM que haga lo siguiente: primero, calcule | M ′ | usando el teorema de recursión de Kleene. Consulta M con entrada | M ′ | + 1 para obtener ⟨ x , | M ′ | + 1 ⟩ ∈ f ( H A L T ) . Salida x .M′|M′|M|M′|+1⟨x,|M′|+1⟩∈f(HALT)x
Claramente, la salida de M ' es una cadena con complejidad de Kolmogorov como máximo | M ′ | pero ⟨ x , | M ′ | + 1 ⟩ ∈ f ( H A L T ) que es una contradicción.xM′|M′|⟨x,|M′|+1⟩∈f(HALT)
Creo que también puede sustituir en el problema "Complejidad de Kolmogorov exactamente " con "Complejidad de Kolmogorov al menos k " con cambios menores.kk