Deje ser un gráfico. Un conjunto de vértices se llama crítico si y no vértice en es adyacente a exactamente un vértice en . El problema es encontrar un conjunto de vértices de tamaño mínimo tal que para cada conjunto crítico .X ⊆ V X ≠ ∅ V ∖ X X S ⊆ V S ∩ X ≠ ∅ X
El problema tiene la siguiente interpretación de difusión de rumores: Vertex difunde el rumor a su vecino si y solo si todos los demás vecinos de ya están informados. La pregunta es, entonces, ¿cuántos vértices tengo que informar inicialmente para asegurarme de que todos estén informados al final?j i
Esto tiene una solución bastante simple, por lo que quizás el problema tenga más condiciones de las especificadas; ignorando el caso especial y si G está conectado, cada vértice v con grado > 1 tiene un conjunto crítico V ∖ { v } asociado a él, de modo que sólo los vecinos de exclusivamente ° 1 vértices pueden estar en S . Si existe tal vértice, entonces G es un gráfico de estrella y su centro (como un singleton) es el S mínimo único . Si G no está conectado, mire cada componente conectado.
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Joe Bebel
Para una estrella con n ⩾ 2 hojas, cada conjunto de dos hojas es crítico y, por lo tanto, la solución óptima es tomar hojas.
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Thomas Kalinowski
Oh, veo mi interpretación errónea
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Joe Bebel
Pregunta muy interesante, una pequeña objeción: probablemente desee que sus conjuntos críticos no estén vacíos (de lo contrario, no hay ).
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Klaus Draeger
@JoeBebel: El problema de decisión "¿Existe una solución para establecer como máximo K ?" está en NP. Puede verificar si un conjunto S es una solución mediante el siguiente algoritmo. Si bien no es un vértice v ∈ S , que tiene exactamente el vecino w exterior S , añadir w a S . Si S contiene eventualmente todos los vértices, entonces su conjunto inicial fue una solución, de lo contrario, se atascará, y el complemento del conjunto final es un conjunto crítico, por lo que el S inicial no fue una solución.
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Thomas Kalinowski