Técnicas espectrales para el género de un gráfico.

Una pregunta genérica: ¿hay alguna técnica espectral para estimar el género de un gráfico? Estoy interesado en gráficos bipartitos.

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— T ....
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¿Podría por favor proporcionar algunos antecedentes?

— Mohammad Al-Turkistany

Creo que es una pregunta genérica. ¿Cuántos identificadores necesitamos para incrustar un gráfico de manera no intersectante? ¿Curioso si las técnicas laplacianas pueden estudiar esto?

— T ....

Gracias Arul, ¿podrías agregarlo a tu pregunta?

— Mohammad Al-Turkistany

Tal vez le interesaría una publicación relacionada en MO: mathoverflow.net/questions/54395/… .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Respuestas:

$\rho(G)$

Radio espectral de gráficos planos finitos e infinitos y de gráficos del género acotado , Zdenek Dvorak y Bojan Mohar, JCTB 2010.

$g$

$g$ $\rho(G) = \sqrt{8\Delta(G)} + O(\sqrt{g} \log g)$ $\Delta(G)$ $G$

Podemos usar esto para estimar un límite inferior para el género de un gráfico, si el radio espectral del gráfico es lo suficientemente grande. Para obtener un límite más preciso para la constante big-O, consulte el documento.

La propiedad como un gráfico bipartito parece ayudar poco aquí. Son capaces de proporcionar una instancia bipartita donde la desigualdad en los gráficos planos es la mejor posible.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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En realidad, el término de error en la fórmula es interesante: tiene una expresión similar a la del término de error en el número de primos menores que un número dado bajo el GRH.

— T ....

Pero no da la estimación del género. Proporciona una estimación del radio espectral.

— T ....

Tenemos que usarlo al revés. Si el radio espectral es lo suficientemente grande, sabemos que el género debería ser grande. Si solicita límites superiores para el género, debe indicarlo en la pregunta.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Pensé que la pregunta era clara "... estima el género ..."

— T ....

Pero pensé que el radio espectral es el mayor valor propio de la matriz de adyacencia, que es fácil de calcular. En general, esto suena como una respuesta bastante decente.

— Suresh Venkat

$O(n^\epsilon)$ $O(g\sqrt{n})$ $\max\{4g, g+4n\}$ $g$ $n$

Ver: Jianer Chen, Saroja P. Kanchi y Arkady Kanevsky. Una nota sobre la aproximación del género gráfico . Information Processing Letters 61 (6): 317–322, 1997.

— Jeffε
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¿Es esto cierto también para los gráficos bipartitos?

— T ....

El resultado de la dureza debe ser verdadero para los gráficos bipartitos, ya que cualquier gráfico puede hacerse bipartito introduciendo un nuevo vértice en cada borde. Parece realmente poco probable que ser bipartito ayude con el algoritmo.

— Jeffε