¿La existencia de problemas de PH completa se relativiza?

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El resultado de Baker-Gill-Solovay mostró que la pregunta P = NP no se relativiza, en el sentido de que ninguna prueba relativizante (insensible a la presencia de un oráculo) puede resolver la pregunta P = NP.

Mi pregunta es: ¿Hay un resultado similar para la pregunta "¿Existe un problema de PH completo?" Una respuesta negativa a esta pregunta implicaría P! = NP; Una respuesta afirmativa sería poco probable pero interesante porque significaría que el PH colapsa a cierto nivel.

No estoy seguro, pero sospecho que un oráculo TQBF conduciría a que PH sea igual a PSPACE y, por lo tanto, tenga un problema completo. Además de no estar seguro de esto, tengo curiosidad por saber si existe o no un oráculo con respecto al cual el PH probablemente no tenga un problema completo.

-Philip

cc.complexity-theory complexity-classes

— Philip White
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Yao demostró, en 1985, que existen oráculos con respecto a los cuales la Jerarquía Polinómica es infinita. En relación con tal oráculo, no existen problemas de PH completo.

Además, tiene razón en que con un oráculo TQBF, PH es igual a PSPACE. De hecho, incluso P = PSPACE en presencia de un oráculo TQBF.

— Srikanth
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Gracias, esta fue la primera respuesta que respondió con precisión mi pregunta.

— Philip White el

Sólo para hacer un punto de ventaja para los lectores, hay problemas -Complete para cada oráculo . Es decir, siempre hay problemas completos para cada nivel fijo de la jerarquía. A saber, decidir si el jugador 1 gana un juego de ronda, donde el árbitro del juego es descrito por un circuito con acceso oráculo a , es -completo. ( aquí que el jugador 1 obtiene el primer movimiento; de lo contrario, es -complete.)

Σ_{k} P^{A}

$\Sigma_k P^A$

A

$A$

k

$k$

A

$A$

Σ_{k} P

$\Sigma_k P$

Π_{k} P

$\Pi_k P$

— Andy Drucker

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PH tiene problemas completos si y sólo si se derrumba: si tiene un problema completo , entonces para algunos , de modo . Por el contrario, si es finito, entonces para algunos , y es entonces PH-completo. $L$ $L \in \Sigma_k P$ $k$ $PH = \Sigma_k P$ $PH$ $PH = \Sigma_k P$ $k$ $\Sigma_k SAT$

Como señaló Srikanth, hay oráculos en relación con los cuales el PH es infinito. (De hecho, encontrar tales oráculos fue parte de la razón por la cual las personas comenzaron a mirar PARITY no en en primer lugar). Usando técnicas similares basadas en circuitos, también hay, para cada , un oráculo que colapsa el exactamente ( Ker-I Ko, SICOMP 18 (2), 1989 ). Para aquellos que estén interesados, recomiendo la encuesta de Ker-I Ko . $AC^0$ $k$ $PH$ $\Sigma_k P$

— Joshua Grochow
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Gracias, esta respuesta también es útil. Creo que sabía que tenía problemas completos si colapsa, pero agradezco los detalles adicionales, particularmente con respecto al comentario PARITY / AC0.

— Philip White el