Pruebas de propiedad para conjuntos independientes

Supongamos que tenemos una gráfica y parámetros k , ϵ . ¿Hay rangos de valores para k (o es factible para todo k ) para el que es posible comprobar si G es ε -lejos de tener un conjunto independiente de tamaño al menos k en el tiempo O ( n + poli ( 1 / ε ) ) ?$G$$k,\epsilon$$k$$k$$G$$\epsilon$$k$$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$

Si utilizamos la noción habitual de -lejos (es decir, a lo sumo ε n 2 tendría que ser cambiado con el fin de obtener un conjunto tal bordes), entonces el problema es trivial para k = O ( n $\epsilon$$\epsilon n^2$. Entonces$k = O(n\sqrt{\epsilon})$

• Parece que si es mayor, algunas ideas de muestreo deberían funcionar para resolver el problema. Es eso cierto ?$k$
• ¿Hay otras nociones de -lejos (es decir, tal vez ε | E | bordes en su lugar) en virtud del cual se han producido resultados no triviales?$\epsilon$$\epsilon |E|$

Básicamente estoy buscando referencias en este momento.

Este problema de hecho ha sido estudiado. Goldreich, Goldwasser y Ron lo estudiaron en su artículo seminal que inició las pruebas de propiedades gráficas, y luego, Feige, Langberg y Schechtman también tienen resultados en su documento FOCS '02 "Gráficos con pequeños números cromáticos vectoriales y grandes números cromáticos". .

Específicamente, [Fls '02] muestran que se puede distinguir entre los gráficos con un conjunto independiente de tamaño de los gráficos varepsilon -lejos de ser tan (lo que significa, al menos varepsilon n 2 bordes tienen que ser eliminado para crear un conjunto de tales independiente) eligiendo un subgrafo aleatorio inducido por s = ˜ O ( ρ 4 / ϵ 3 ) vértices aleatorios en el gráfico y verificando si el subgrafo aleatorio tiene un conjunto independiente de tamaño ρ s o no. ([GGR '98] mostró un límite más débil en s de ˜ O ( ρ $\rho n$$\epsilon$$\epsilon n^2$$s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$$\rho s$$s$ .) [FLS '02] también muestra un límite inferior en s de Ω ( ρ 3 / ϵ 2 ) .$\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$$s$$\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$

Otra definición natural de -cerca de un conjunto independiente está cambiando ε k 2 bordes. Desafortunadamente, con esta definición, las pruebas de propiedad no parecen ser solucionables en tiempo polinómico. La razón es que nadie sabe cómo encontrar una camarilla plantada (y un conjunto similarmente independiente) de o ( $\epsilon$$\epsilon k^2$vértices en un gráfico aleatorio denvértices más rápido quen O ( log n ) tiempo. Se puede demostrar que una subgrafía que es un poco más densa que el promedio se puede usar para encontrar la camarilla plantada en tiempo polinómico. Esto es evidencia de que existe un algoritmo de tiempo polinómico para esta variante de su problema parakentrelogny$o(\sqrt{n})$$n$$n^{O(\log n)}$$k$$\log n$ .$\sqrt{n}$

Referencia: Feige y Krauthgamer. Encontrar y certificar una gran camarilla oculta en un gráfico semialeatorio, 1999.