¿El Cheeger es constante

He leído en innumerables artículos que determinar la constante Cheeger de un gráfico es -duro. Parece ser un teorema popular, pero nunca he encontrado ni una cita ni una prueba de esta afirmación. ¿A quién debo dar crédito por ello? En un documento antiguo (Isoperimetric Numbers of Graphs, J. Comb. Theory B, 1989) Mohar solo prueba esta afirmación "para gráficos con múltiples bordes". $\mathsf{NP}$

reference-request graph-theory spectral-graph-theory

— Delio M.
fuente

Respuestas:

También encontré este problema cuando estaba escribiendo un artículo que requería una cita de la dureza de la expansión del borde (o constante de Cheeger) definida como . El clásico artículo de Leighton y Rao sobre separadores ( http://dl.acm.org/citation.cfm?id=331526 $\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ ) menciona que este es un problema difícil y se refiere al artículo de Garey, Johnson y Stockmeyer ( http: / /www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397576900591) No pude entender por un momento a qué se referían, ya que no se menciona la expansión del borde en el documento mencionado. Me comuniqué con Avi Wigderson sobre esto. Finalmente se supo que se puede usar la dureza de Max-Cut como se muestra en el documento de Garey et al para mostrar con relativa facilidad que la expansión de bordes es difícil. Ahora olvido los detalles, pero no debería ser difícil de recrear. El artículo de Blum etal sobre la dureza de verificar si un gráfico es un superconcentrador no implica directamente la dureza de la expansión del borde. Técnicamente no son el mismo problema.

— Chandra Chekuri
fuente

Mi artículo que usa la dureza de expansión de bordes es el siguiente en onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract . Nos referimos al papel de Leighton-Rao y al de Garey, Johnson, Stockmeyer para la dureza de la expansión del borde.

— Chandra Chekuri

¡Gracias! Entonces, técnicamente hablando, ¿la dureza de determinar la constante de Cheeger no está probada en la literatura?

— Delio M.

@DelioM. La referencia de Kaibel en una de las respuestas de Mohammad tiene una prueba completa. Es solo la reducción de Garey-Johnson-Stockmeyer de corte máximo no ponderado a bisección mínima, con una breve prueba de que en los gráficos producidos por la reducción, el corte más escaso es una bisección.

— Sasho Nikolov

Aunque, debo confesar que estoy perdido. Siempre pensé que max-cut está relacionado con el tema de caracterizar "cuán bipartito" es un gráfico. ¿Cómo puede ayudar esto a encontrar "qué tan conectado" está un gráfico? De manera equivalente, ¿cómo puede el segundo valor propio más bajo del laplaciano sin signo unir el segundo valor propio más bajo del laplaciano? Que un límite inferior es obvio, pero un límite superior?

— Delio M.

@DelioM. Max Cut se reduce primero a Min Bisection al agregar más

vértices y tomar el complemento del gráfico resultante. Entonces, esta reducción relaciona cuán cerca está un gráfico bipartito de cómo está conectado otro gráfico (relacionado con el complemento del primero).

n

$n$

— Sasho Nikolov

La prueba real de la dureza de calcular la constante de Cheeger (o la expansión del borde) fue dada por Kaibel en un informe técnico por una reducción del problema de corte máximo (véase el teorema 2). La prueba es una extensión de la prueba de la dureza del problema de Connecticut dada por Garey, Johnson y Stockmeyer en algunos problemas de gráficos NP-completos simplificados . $NP$ $NP$

V. Kaibel: Sobre la expansión de gráficos de 0/1-polytopes. Informe técnico arXiv: math.CO/0112146, 2001

EDITAR : El argumento a continuación es incorrecto , como lo señaló Chekuri, y se dejó con fines educativos.

Esta no es una referencia como solicitó, pero explica el estado del folclore del resultado de la dureza.

Aquí hay una idea de prueba de la integridad de CoNP de decidir si un gráfico cúbico conectado es expansor de bordes y, por lo tanto, determinar la constante Cheeger es difícil de CoNP. $h(G)$

El problema mínimo de bisección es -completo $NP$ para gráficos cúbicos conectados. Aquí queremos decidir si un gráfico con un entero $G$ $k$ se puede dividir en dos partes de igual tamaño de modo que el número de bordes de corte sea menor que . $k$

Tenga en cuenta que el complemento de este problema es equivalente a decidir si el gráfico es expansor o no (cada partición equilibrada de tiene bordes de corte más que ). $G$ $V$ $k$

PS Arora en este seminario afirma que es -duro reconocer el gráfico de expansor (expansión de borde). http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

Esta prueba tampoco funciona, porque el tamaño de la bisección mínima no dice nada sobre la expansión del borde por sí misma. Por ejemplo, un gráfico desconectado en

vértices puede tener una bisección mínima

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— Sasho Nikolov

El gráfico

es un gráfico cúbico conectado y para este problema de bisección mínima de clase es NP-completo.

G

$G$

— Mohammad Al-Turkistany

@SashoNikolov Nunca vi a nadie interesado en la expansión de gráficos desconectados.

— Mohammad Al-Turkistany

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

Ω (n)

$\Omega(n)$