Si la función f está en #P, entonces, dada una cadena de entrada x de cierta longitud N, el valor f (x) es un número no negativo limitado por . (Esto se deduce de la definición, en términos de número de rutas de aceptación de un verificador NP).2p o l y( N)
Esto significa que muchas funciones f se encuentran fuera de #P por razones poco interesantes, ya sea porque f es negativa o, en el caso que mencione, porque la función crece más rápido que . Pero para el problema de n -queens como se modela en el artículo, esto es solo un artefacto de la decisión de los autores de permitir que el valor de entrada n se codifique en binario. Si la entrada esperada era la cadena unaria 1 n , entonces f ( 1 n ) : = (número de n válido2p o l y( N)nortenorte1norteF( 1norte) : =norte-queen configuraciones) sin duda estaría en #P, por un simple verificador NP que verifica la validez de una configuración dada.
Si desea explorar algunas funciones que (conjeturalmente) se encuentran fuera de #P por razones más interesantes, considere, por ejemplo, estas:
- UNSAT: si ψ es una fórmula booleana insatisfactoria, de lo contrario f ( ψ ) : = 0 . Esta función no está en #P, a menos que NP = coNP. Probablemente tampoco esté en la clase de conteo más general GapP; es decir, UNSAT probablemente no sea la diferencia f - g de dos funciones #P. Sin embargo, se encuentra en la clase de complejidad de conteo más general P # P , que de hecho contiene toda la Jerarquía polinómica según el teorema de Toda.F( ψ ) : = 1ψF( ψ ) : = 0PAG# P
Es posible que no le guste ese ejemplo porque no es un "problema de conteo" natural. Pero los siguientes dos serán:
F( ψ ( x , y) ) : =Xψ ( x , ⋅ )y
F( ψ ( x , y) ) : =Xyψ ( x , y) = 1
No se sabe que los dos últimos problemas sean computables de manera eficiente incluso con acceso Oracle a #P. Sin embargo, son computables dentro de la llamada "jerarquía de conteo". Para algunos problemas más naturales clasificados dentro de esta clase, consulte, por ejemplo, este artículo reciente.
El conteo de equilibrios de Nash es aparentemente # P-difícil, ver aquí . Además, incluso los problemas en los que el problema de búsqueda es fácil puede ser #P difícil de contar, por ejemplo, contando coincidencias perfectas.