Problemas con grandes brechas de complejidad abierta

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Esta pregunta trata sobre problemas para los cuales existe una gran brecha de complejidad abierta entre el límite inferior conocido y el límite superior, pero no debido a problemas abiertos en las propias clases de complejidad.

Para ser más precisos, digamos que un problema tiene clases de brecha (con , no definido de forma exclusiva) si es una clase máxima para la cual podemos demostrar que es -duro, y es un límite superior mínimo conocido , es decir, tenemos un algoritmo en resolver el problema. Esto significa que si terminamos descubriendo que el problema es -completo con , no afectará la teoría de la complejidad en general, en lugar de encontrar un algoritmo para un problema -completo. $A,B$ $A\subseteq B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $C$ $A\subseteq C\subseteq B$ $P$ $NP$

No estoy interesado en problemas con y , porque ya es el objeto de esta pregunta . $A\subseteq P$ $B=NP$

Estoy buscando ejemplos de problemas con las clases gap que estén lo más lejos posible. Para limitar el alcance y precisar la pregunta, estoy especialmente interesado en los problemas con y , lo que significa que tanto la membresía en como completitud son coherentes con el conocimiento actual , sin hacer colapsar las clases conocidas (digamos clases de esta lista ). $A\subseteq P$ $B\supseteq EXPTIME$ $P$ $EXPTIME$

cc.complexity-theory complexity-classes big-list

— Denis
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¿Qué quieres decir con clases de un problema? Suponga que el problema es SAT, ¿cómo define las clases?

— RB

SAT es NP-completo, por lo que podemos tomar

y no hay espacio aquí, porque la complejidad de SAT coincide exactamente con una clase ya conocida. Mostrar cualquier resultado nuevo sobre la complejidad del SAT (es decir, pertenecer a una clase más pequeña) sería un gran avance en la teoría de la complejidad. De acuerdo, la pregunta no está completamente bien definida, ya que depende de qué clases de complejidad se consideren "convencionales", y

no están definidas de forma exclusiva. Sin embargo, la pregunta específica está bien definida: ejemplos de lenguajes para los cuales es coherente con el conocimiento actual de que están en P o EXPTIME-complete.

A = B = N P

$A=B=NP$

A, B

$A,B$

— Denis

en realidad todavía no está completamente bien definido debido al "no colapso", por lo que se basa en una noción de "clase conocida". Obviamente, un problema de PSPACE-complete no se ajusta al requisito, aunque estar en P o EXPTIME-complete es coherente con el conocimiento actual. Por ejemplo, esta lista se puede usar como referencia para lo que es una clase "bien conocida": en.wikipedia.org/wiki/List_of_complexity_classes

— Denis

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No encaja perfectamente con la pregunta de su pregunta específica, pero según parece, la teoría existencial de los reales resiste obstinadamente cualquier clasificación adicional más allá de ser NP-hard y dentro de PSPACE (este último según el resultado de 1988 de JF Canny). en.wikipedia.org/wiki/Existential_theory_of_the_reals

— anémona

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El problema de la equivalencia de nudos .

Dados dos nudos dibujados en el plano, ¿son topológicamente iguales? Se sabe que este problema es decidible, y no parece haber ninguna obstrucción de la complejidad computacional para que esté en P. El mejor límite superior conocido actualmente en su complejidad temporal parece ser una torre de s de altura , donde , es el número de cruces en los diagramas de nudos. Esto viene de un límite de Coward y Lackenby sobre la cantidad de movimientos Reidemeister necesarios para llevar un nudo a uno equivalente. Ver el artículo más reciente de Lackenby $2$ $c^n$ $c = 10^{10^{6}}$ $n$ para algunos resultados relacionados más recientes y para la forma explícita del límite que doy arriba (página 16).

— Peter Shor
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Gracias por su respuesta. ¿Conoces los límites actuales? ¿Puede señalar una referencia que indique el estado actual del arte? Tengo problemas para encontrar uno claro.

— Denis

He estado tratando de encontrar algo más reciente que el artículo de 1998 de Hass, Lagarias y Pippenger aquí . Esto indica que se sabe que el problema de equivalencia de nudos es decidible. No me sorprendería si alguien hubiera demostrado que estaba en EXPTIME desde entonces, pero no creo que se sepa nada mejor de lo que se sabe, y ciertamente no está claro que no esté en P. Estoy bastante seguro de que ninguno de los resultados que muestran que decidir si algo está anudado en NP se extiende a este problema más general.

— Peter Shor

Esta pregunta de MO está relacionada: mathoverflow.net/questions/77786/… En particular, usando los resultados recientes anunciados por Lackenby en people.maths.ox.ac.uk/lackenby/ekt11214.pdf , uno obtiene eso para cualquier tipo de nudo K, determinar si un nudo dado es equivalente a K está en NP (tenga en cuenta que esto no mejora en el problema de equivalencia de nudos)

— Arnaud

c^{n}

$c^n$

c

$c$

@PeterShor Sí, de hecho. Me estaba centrando en el resultado más reciente porque puede conducir a un límite mejorado cuando se publica, si se explicita el polinomio real.

— Arnaud

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$2^n$ $2^{n/2}$

$AC0$ $NP$ $NP$ $AC0[2]$

— Ryan Williams
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23

$\sqrt{2}$ $\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$ $\mathsf{BitSLP}$ $n$ $\mathsf{AC^0}$

— SamiD
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21

$\mathbb{R}^3$ $k$ $\mathbb{R}^d$ $k=1$ $d=2$ $k=2$ $d=2$ $k=2$ $d=3$

El último artículo tiene muchas referencias para lecturas adicionales.

— Sasho Nikolov
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Los autómatas multicounter (MCA) son autómatas finitos equipados con contadores que se pueden incrementar y disminuir en un solo paso, pero solo toman números enteros> = 0 como números. A diferencia de las máquinas Minsky (también conocidas como autómatas de contador), los MCA no pueden probar si un contador es cero.

Uno de los problemas algorítmicos con una gran brecha relacionada con las MSC es el problema de accesibilidad. Por ejemplo, si el autómata puede alcanzar, desde una configuración con el estado inicial y todos los contadores a cero, una configuración con un estado de aceptación y todos los contadores a cero nuevamente.

El problema es difícil para EXPTIME (como lo muestra Richard Lipton en 1976), decidible (Ernst Mayr, 1981) y solucionable en Fω3 (gracias, Sylvain, por señalar esto). Una gran brecha.

— Thomas S
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3

F_{ω^{3}}

$\mathbf{F}_{\omega^3}$

@Sylvain Cool! Gracias por compartir esto. :)

— Michael Wehar

@Sylvain ¿EXPTIME es el límite inferior más conocido?

— Michael Wehar

2

F_{ω}

$\mathbf{F}_\omega$

@Sylvain Muchas gracias por toda la información adicional. Realmente lo aprecio. :)

— Michael Wehar

11

$\mathsf{QMA}(2)$ $\mathsf{QMA}$ $\mathsf{NEXP}$

— Martin Schwarz
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9

$\mathsf{EXPSPACE}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

— Joshua Grochow
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¿Puede proporcionar más información sobre esto en forma explícita? parece algún tipo de problema bpp-complete?

@Arul: Ni PIT ni este problema son completos para BPP en ningún sentido que yo sepa. (De hecho, demostrar que existen problemas completos de BPP todavía está abierto y requiere técnicas no relativizadoras, un resultado que se remonta a Sipser). Sin embargo, la desrandomización tiene una compensación dureza-aleatoriedad, ya que su desrandomización es esencialmente equivalente a los límites inferiores. Además del documento vinculado en la respuesta ("GCT 5"), busque dureza-aleatoriedad y Kabanets-Impagliazzo.

— Joshua Grochow

Lo haré, pero estaba interesado en esta frase 'y, de hecho, estar en P es esencialmente equivalente a desrandomizar PIT', que parece decir que PIT es algún tipo de problema de proxy completo

@Arul: Sí, para ver por qué PIT es un "problema de proxy completo", vea las cosas a las que me referí en mi comentario anterior.

— Joshua Grochow

¿Por qué usa 'Dedicado a Sri Ramakrishna' en muchas de sus obras?

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Se sabe que el problema de Skolem (dada una recurrencia lineal con casos base enteros y coeficientes enteros, si alguna vez alcanza el valor 0) es NP-duro y no se sabe que sea decidible. Hasta donde sé, cualquier cosa intermedia sería coherente con nuestro conocimiento actual sin colapsos de clases de complejidad estándar.

— David Eppstein
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