La complejidad de verificar si dos CNF tienen el mismo número de soluciones

Dados dos CNF, si tienen el mismo número de asignaciones para hacerlos verdaderos, responda "Sí", de lo contrario responda "No".

Es fácil ver que está en , ya que si conocemos el número exacto de soluciones para estos dos CNF, simplemente hacemos campaña y respondemos "Sí" o "No". $P^{\#P}$

¿Cuál es la complejidad de este problema?

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— Mike Chen
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Respuestas:

El problema es coNP -hard; puede reducir fácilmente el problema UNSAT a este problema.

Una caracterización más precisa es que el problema es C ₌ P -completo. De hecho, una definición de la clase C ₌ P es que es la clase de problemas que son muchas veces polinomiales reducibles a este mismo problema (por lo general, esta definición se establece en términos de funciones GapP ). Pero como esto no dice mucho, déjame definir esta clase de otra manera.

Sea C ₌ P la clase de problemas que son polinomiales en tiempo múltiple reducibles al siguiente problema: dado un circuito booleano φ y un entero K (en binario), decida si el número de asignaciones satisfactorias de φ es igual a K . Mediante una reducción estándar que muestra la completitud # P de # 3SAT, podemos restringir φ para que sea una fórmula 3CNF sin afectar la clase. La clase C ₌ P contiene una clase llamada US , que contiene UP y coNP.

Con esta definición, su problema es C ₌ P-completo. En realidad, la dureza C ₌ P es fácil de ver a partir de la definición de la clase C ₌ P (que usa fórmulas 3CNF).

Para probar la membresía en C ₌ P, suponga que debemos decidir si dos fórmulas CNF φ ₁ y φ ₂ tienen el mismo número de asignaciones satisfactorias o no. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las dos fórmulas tienen el mismo número de variables, digamos n . Construya un circuito booleano φ que tome n +1 bits como entrada para que el número de asignaciones satisfactorias de φ sea igual a c ₁ + (2 ⁿ - c ₂ ), donde c ₁ y c ₂sean los números de asignaciones satisfactorias de φ ₁ y φ ₂ , respectivamente. Entonces el número de asignaciones satisfactorias de φ es igual a 2 ⁿsi y solo si c ₁ = c ₂ .

— Tsuyoshi Ito
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@Kaveh: ¿Puedes dar más detalles?

— Tsuyoshi Ito

@Kaveh: No, eso no es lo que queremos. Queremos decidir si φ_1 y φ_2 tienen el mismo número de tareas satisfactorias, no necesariamente el mismo conjunto de tareas satisfactorias.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Según su definición de

, ¿está GI en

? Creo que al menos GI

C_{=} P

$C_=P$

C_{=} P

$C_=P$

\subseteq F P^{C_{=} P}

$\subseteq FP^{C_=P}$

— Mike Chen el

@ Mike: Gracias por el interesante comentario. ¿Estás hablando del resultado que Graph Isomorphism ∈ SPP (Arvind y Kurur 2006 dx.doi.org/10.1016/j.ic.2006.02.002 )? Si es así, tienes razón; SPP está contenido en

, de modo Graph isomorfismo ∈

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Tsuyoshi Ito

@ Mike: Aprendí que antes del resultado GraphIso∈SPP, se sabía que GraphIso ∈ LWPP : Köbler, Schöning y Torán 1992 . Desde LWPP ⊆ WPP ⊆

, no necesitamos el resultado más fuerte por Arvind y Kurur decir que GraphIso∈

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Tsuyoshi Ito

Aquí hay una pequeña variación de la pregunta original. Sea un oráculo que, en la entrada emite 1 si CNF tiene más soluciones que CNF $O$ $(f_1,f_2)$ $f_1$ . $f_2$

Dado este oráculo, construimos una máquina de poli-tiempo que puede resolver el problema # P-completo de calcular el número de soluciones para un CNF dado . Tenga en cuenta que eso $M$ $\varphi$ $\varphi$ puede tener un número exponencial de soluciones.

funciona de la siguiente manera: genera fórmulas con un número conocido de soluciones, y mediante la búsqueda binaria y al hacer consultas polinomiales como máximo a , encuentra una fórmula que tieneel mismonúmero de soluciones que . Finalmente genera la cantidad de soluciones que acabamos de encontrar. $M$ $O$ $\varphi_i$ $\varphi$

Esto muestra que tiene complejidad #P. $M^O$

— MS Dousti
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Perdona mi ignorancia, pero ¿cómo generas una fórmula con un número de soluciones predeterminado?

— Giorgio Camerani

M = \sum_{i = 0}^{k} m_{i} 2^{i}

$M = \sum_{i=0}^k m_i 2^i$

S

$S$

i

$i$

m_{i} = 1

$m_i=1$

x_{0}, \dots, x_{k}

$x_0, \ldots, x_k$

y_{0}, \dots, y_{k}

$y_0, \ldots, y_k$

i \in S

$i \in S$

F_{i}

$F_i$

{x_{0}, \dots, x_{k - i}}

$\{x_0,\ldots,x_{k-i}\}$

{y_{0}, \dots, y_{k}}

$\{y_0, \ldots, y_k\}$

y_{i}

$y_i$

F_{i}

$F_i$

2^{i}

$2^i$

{x_{k - i + 1}, \dots, x_{k}}

$\{x_{k-i+1}, \ldots, x_k\}$

i \neq j

$i\ne j$

F_{i}

$F_i$

F_{j}

$F_j$

y

$y$ variables La formula

\underset{i \in S}{⋁} F_{i}

$\bigvee_{i\in S} F_i$ tiene

M

$M$ tareas satisfactorias

— mikero

Tenga en cuenta que es PP-complete decidir si, dadas dos fórmulas CNF f_1 y f_2, f_1 tiene asignaciones más satisfactorias que f_2 o no.

— Tsuyoshi Ito

@mikero: ¡Ah, estúpido! Debería haberlo imaginado. Gracias por tu esclarecedora explicación.

— Giorgio Camerani

It seems like it's atleast NP-hard as one can easily construct a SAT formula with just one solution. Then by the Valiant-Vazirani theorem, there's a probabilistic reduction from every SAT formula to a set of Unique-SAT problems (determining whether a formula has a unique solution) and comparing those Unique-SAT problems with the constructed SAT formula with just one solution enables you to determine the satisfiability of the SAT formula under consideration.

— Opt
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To be precise, the first sentence should mention “under randomized reducibility” (although you mention it in the second sentence).

— Tsuyoshi Ito