¿Algoritmo determinista paralelo para una coincidencia perfecta en gráficos generales?

En la clase de complejidad , se conjetura que algunos problemas NO están en la clase N C , es decir, problemas con algoritmos deterministas paralelos. El problema del flujo máximo es un ejemplo. Y se cree que hay problemas en N C , pero todavía no se encuentra una prueba.$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

Coincidencia perfecta problema es uno de los problemas más fundamentales planteadas en la teoría de grafos: dado un grafo , tenemos que encontrar una correspondencia perfecta para G . Como pude encontrar en Internet, a pesar del hermoso algoritmo de tiempo polinómico Blossom de Edmonds, y un algoritmo paralelo ALEATORIZADO de Karp, Upfal y Wigderson en 1986, se sabe que solo unas pocas subclases de gráficos tienen algoritmos N $G$$G$$\mathsf{NC}$

En enero de 2005, es un post en el blog de la complejidad computacional que las reclamaciones que permanece abierta si la coincidencia perfecta está en . Mi pregunta es:$\mathsf{NC}$

¿Hay algún progreso desde entonces, más allá del algoritmo aleatorio ?$\mathsf{NC}$

Para aclarar mi interés, cualquier algoritmo que trate con gráficos GENERALES es bueno. Aunque los algoritmos para subclases de gráficos también están bien, eso puede no estar en mi atención. ¡Gracias a todos!

EDITAR el 27/12:

Gracias por toda su ayuda, trato de resumir todos los resultados en una figura:

Las clases más bajas conocidas contienen los siguientes problemas:

• Coincidencia en gráficos generales: [ KUW86 ], R N C 2 [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• Coincidencia en gráficos bipartitos planos / constantes de género: / S P L [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]$\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• Coincidencia cuando el número total es polinomial: [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• Lex-primera coincidencia máxima: [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

Además, bajo un supuesto de complejidad plausible: requiere circuitos exponenciales, la correspondencia en gráficos generales está en S P L [ ARZ98 ].$\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

$NC$

$NC^2$

$NC$$P$$NC$$NC$

$UL$$NC$$UL$$NC$

Espero que esto ayude.

Unos años más tarde :) y Perfect Matching ahora se sabe que está en Cuasi-NC (es decir, necesita casi muchos procesadores polinomialmente). Consulte el documento de Fenner, Gurjar y Thierauf (para gráficos bipartitos) https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdf y nuestro trabajo con Ola Svensson (para gráficos generales): https://arxiv.org/pdf/1704.01929

La desrandomización del lema de aislamiento por Tewari-Vinodchandran no da un límite superior UL en la coincidencia plana desafortunadamente. De hecho, ni siquiera creo que un algoritmo NC no sea conocido por la coincidencia plana. Pero en un trabajo reciente con Datta, Kulkarni y Nimbhorkar mostramos un límite superior de UL en la coincidencia plana bipartita (la revisión de este resultado aún está en progreso). Esto es interesante porque antes de esto, incluso un límite de NL no era conocido por este problema.

Cuando se sabe que un problema de optimización es difícil, es habitual mirar sus versiones máximas. Por ejemplo, mientras que el conjunto independiente es NP-Completo, el primer conjunto independiente máximo lex, que es P-Completo.

$\sqrt n$

Todos estos puntos dicen que puede que no haya una versión NC fácilmente paralelizable para esto. Pero entonces, ¿quién sabe? ¡Alguien puede desrandomizar la versión RNC la próxima semana!

Editar: Gracias Ramprasad. Pero aquí hay otro enlace al documento.

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

T. Fischer, AV Goldberg, DJ Haglin y S. Plotkin. Aproximación de coincidencias en paralelo. Info. Proc. Lett., 46 (3): 115, 1993