Comparando la complejidad de las teorías de Kolmogorov

Incompleto de Chaitin teorema dice que no lo suficientemente fuerte como la teoría de la aritmética puede llegar $K(s) > L$ , donde $K(s)$ es la complejidad de Kolmogorov de cuerda $s$ y $L$ es una constante suficientemente grande. $L$ es suficientemente grande si es más grande que el tamaño en bits de una máquina de verificación de pruebas (PCM). A PCM para la teoría $T$ toma una cadena codificada como un entero como entrada y salida a un 1 si la cadena es una prueba válida en el lenguaje de la $T$ .

Suponga que $L(T) > |PCM_T|$para la teoría $T$ es una cota superior de la complejidad de la $T$ . Considere la siguiente jerarquía de teorías: deje que la teoría base sea la aritmética de Robinson ( $Q$ ). Aumento $Q$ con axiomas cada vez más fuertes de inducción limitada polinómica. Sea $Q^*$ la teoría de los teoremas demostrable con $Q$ y cualquiera de estos axiomas de inducción acotados. Supongamos que podemos definir $L(Q)$ y definiendo PCM para cada teoría.$L({Q^*})$

Quiero considerar una máquina de verificación de pruebas mejorada (EPCM) para . Este EPCM toma una cadena como entrada al igual que un ECM y tiene una segunda entrada que define el rango y el nivel de una subteoría de Q ∗ . Si la cadena de entrada es una prueba válida en Q ∗, el EPCM sigue los pasos de la prueba para determinar el rango más alto y el nivel de inducción utilizado. Este EPCM luego escribe un 1 si la oración de entrada es una prueba válida en la subteoría especificada de Q ∗ .$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$

¿Es factible el comprobador de pruebas mejorado que describo? Si es así, ¿el tamaño de este EPCM sería un límite superior no solo para la complejidad de , sino también un límite superior para la complejidad de cualquier subteoría de Q ∗ ?$Q^*$$Q^*$

¿Es razonable decir que hay un límite superior constante en la complejidad de y todas sus subteorías?$Q^*$

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Esta pregunta fue inspirada por la prueba fallida de Nelson de la inconsistencia de la aritmética. No lo señalé antes porque a algunas personas les resulta inquietante esa prueba. Mi motivación es hacer una pregunta interesante. CSTheory parece ser el foro adecuado para esta pregunta. La complejidad de y todas sus subteorías está limitada por una constante o ilimitada. Cualquiera de las respuestas lleva a más preguntas.$Q^*$

Si la complejidad de las subteorías es ilimitada, podemos hacer preguntas como ¿cuál es la subteoría más débil de más compleja que Q ∗ ? ¿O más complejo que PA y ZFC? Pensar en esta pregunta ya me ha demostrado que hay un límite severo sobre cuánto puede demostrar una teoría sobre la complejidad de las cuerdas de Kolmogorov. Si Q ∗ es consistente, entonces ninguna de sus subteorías puede probar K ( s ) > L ( Q ∗ ) para ninguna cadena. Esto significa que incluso las subteorías realmente fuertes no pueden probar que hay cadenas más complejas que algunas subteorías mucho más débiles donde la teoría más débil es más compleja que $Q^*$$Q^*$$Q^*$$K(s) > L(Q^*)$ .$Q^*$

Trataré de dar una respuesta a esta pregunta, y trataré de aclarar alguna confusión sobre la forma exacta de la pregunta.

El primer punto que quiero hacer: la en el estado de constante de Chaitin es de hecho una función de t . En el sentido absoluto , es monótono en la expresividad de T : si L ( T ) es el número natural más pequeño para el cual T ⊬ K ( s ) ≥ L ( T ) para cualquier cadena s , entonces si T ′ es una teoría consistente más fuerte que T ( T ⊢ φ implica T $L$$T$$T$$L(T)$

$$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$$ $s$$T'$$T$$T\vdash\varphi$ ≥ L por hipótesis.$T'\vdash\varphi$para cualquier oración aritmética ) entonces L ( T ′ ) ≥ L ( T ) . El argumento es muy simple: si existe s tal que T ⊢ K ( s ) ≥ L entonces T ′ ⊢ K ( s $\varphi$$L(T')\geq L(T)$$s$$T\vdash K(s)\geq L$$T'\vdash K(s)\geq L$

Sin embargo, esto solo es cierto si es la constante absoluta de Chaitin. En particular, si T ′ prueba C o n ( T ) , entonces T ′ ⊢ ∃ L ∀ s ⌈ T ⊬ K ( ¯ s ) ≥ ¯ L$L(T)$$T'$$\mathrm{Con}(T)$

$$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$$

internalizando el argumento de Chaitin. Sin embargo , un concreto para el cual$l$

$$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$$

en general no será igual a $L(T)$ . En particular, puede ser mucho mayor, generalmente proporcional al tamaño de la prueba de en T $\mathrm{Con}(T)$$T'$ . Esto puede verse fácilmente en la prueba del teorema de sí mismo, que depende fundamentalmente de la consistencia de la .$T$

Entonces, mientras puede probar la consistencia del sistema con inducción acotada, la longitud de estas pruebas se alarga cuanto más se acerca a Q ∗ en expresividad (una forma de comprender los teoremas de incompletitud es que la longitud se vuelve infinita cuando se alcanza Q ∗ , por lo tanto, no tiene una prueba finita de consistencia en Q ∗ ). Por lo tanto, lo mismo se aplica a los diversos límites superiores que la L ( T ) s Q ∗ interna puede describir para cada subteoría.$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$ $L(T)$$Q^*$

$L(T)$$Q^*$$Q^*$