Tiempo de cobertura de gráficos dirigidos

Dada una caminata aleatoria en un gráfico, el tiempo de cobertura es la primera vez (número esperado de pasos) que cada vértice ha sido golpeado (cubierto) por la caminata. Para gráficos conectados no dirigidos, se sabe que el tiempo de cobertura está limitado por . Hay dígrafos fuertemente conectados con tiempo de cobertura exponencial en n . Un ejemplo de esto, es el dígrafo que consiste en un ciclo dirigido ( 1 , 2 , . . . , N , 1 ) , y los bordes ( j , 1 ) , desde los vértices j $O(n^3)$$n$$(1, 2, ..., n, 1)$$(j, 1)$ . A partir del vértice 1 , el tiempo esperado para que una caminata aleatoria alcance el vértice n es Ω ( 2 n ) . Tengo dos preguntas :$j = 2, ..., n − 1$$1$$n$$\Omega(2^n)$

1) ¿Cuáles son las clases conocidas de gráficos dirigidos con tiempo de cobertura polinomial? Estas clases pueden caracterizarse por las propiedades teóricas de los gráficos (o) por las propiedades de la matriz de adyacencia correspondiente (por ejemplo, ). Por ejemplo, si A es simétrico, el tiempo de cobertura del gráfico es polinómico.$A$$A$

2) ¿Hay ejemplos más simples (como el ejemplo de ciclo mencionado anteriormente) donde el tiempo de cobertura es exponencial?

3) ¿Hay ejemplos con tiempo de cobertura cuasi-polinomial?

Agradecería cualquier sugerencia a buenas encuestas / libros sobre este tema.

Claramente, el tiempo de mezcla polinomial implica un tiempo de cobertura polinomial. (Bueno, no en general. Necesitamos la probabilidad estacionaria de al menos en cada vértice.) Así que revise el papel de Mihail Conductancia y convergencia de las cadenas de Markov, un tratamiento combinatorio de expansores que demuestra una rápida mezcla de gráficos dirigidos y cadenas generales de Markov basadas en conductancia.$1/poly(n)$

También vea el artículo Pseudoaleatorio camina sobre dígrafos regulares y el problema RL vs. L de Reingold, Trevisan y Vadhan. Siguiendo el trabajo de Mihail. Definieron el parámetro que es equivalente a λ 2 ( G ) , el segundo valor propio más grande en valor absoluto, cuando el gráfico G es reversible en el tiempo y permanece bien definido para las cadenas generales de Markov. Este parámetro se usa entonces para limitar el tiempo de mezcla de G .$\lambda_\pi(G)$$\lambda_2(G)$$G$$G$

Colin Cooper y Alan Frieze tienen un conjunto de resultados en el contexto de dígrafos aleatorios que podrían ser de interés. Estudian las propiedades de una caminata aleatoria simple en el gráfico dirigido aleatorio cuando n p = d log n , d > 1 . Han demostrado que:$D_{n,p}$$np=d \log n, d>1$

• Para , whp el tiempo de cobertura de D n , p es asintótico a d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n . Si d = d ( n ) → ∞ con n , el tiempo de cobertura es asintótico a n log n .$d > 1$$D_{n,p}$$d \log (d/(d-1)) n \log n$$d=d(n) \rightarrow \infty$$n$$n \log n$

• Si y d > 1 entonces WHP C G n , p ~ d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n .$p = d \log n/n$$d>1$$C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$

• Deje y deje x denotar la solución en ( 0 , 1 ) de x = 1 - e - d x . Sea X g el componente gigante de G n , p , p = d / n . Entonces whp C X g ∼ d x ( 2 - x $d>1$$x$$(0,1)$$x = 1-e^{-dx}$$X_g$$G_{n,p},p=d/n$.$C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$

• Si es una constante y G n , r denota una gráfica r aleatoria en el conjunto de vértices [ n ] con r ≥ 3, entonces whp C G n , r ∼ r - $r \geq 3$$G_{n,r}$$r$$[n]$$r \geq 3$.$C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$

• Si es una constante y G m denota un gráfico de apego preferencial en un grado promedio de 2 m, entonces whp C G m ∼ 2 $m \geq 2$$G_m$$2m$.$C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$

• Si y G r , k es un gráfico geométrico aleatorio en R k del tamaño de la bola r tal que el grado esperado de un vértice es asintótico a d log n , entonces whp C G r , k ∼ d log ( $k \geq 3$$G_{r,k}$$\mathcal{R}^k$$r$$d \log n$.$C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$

Ver Cooper, C. y Frieze, A. Distribución estacionaria y tiempo de cobertura de caminatas aleatorias en dígrafos aleatorios. Revista de teoría combinatoria, serie B. (2011).