Aplicaciones de la topología a la informática.

Me gustaría escribir una encuesta sobre las aplicaciones de la topología en informática. Planeo cubrir la historia de las ideas topológicas en Ciencias de la Computación y también destacar algunos desarrollos actuales. Sería extremadamente útil si alguien pudiera dar su opinión sobre cualquiera de las preguntas a continuación.

1. ¿Hay documentos o notas que describan la cronología del uso de la topología en informática?

2. ¿Cuáles son las aplicaciones más importantes de resultados en topología a la informática?

3. ¿Cuáles son las áreas más interesantes del trabajo actual que utilizan la topología para obtener información sobre la computación?

¡Gracias!

Personalmente, creo que la aplicación más interesante de la topología fue el trabajo realizado por Herlihy y Shavit. Utilizaron la topología algebraica para caracterizar la computación distribuida asincrónica y proporcionaron nuevas pruebas de importantes resultados conocidos y eliminaron una serie de problemas abiertos de larga data. Ganaron el premio Godel 2004 por ese trabajo.

"La estructura topológica de la computación asincrónica" por Maurice Herlihy y Nir Shavit, Journal of the ACM, vol. 46 (1999), 858-923,

La topología es una disciplina tan madura con subcampos variados que incluyen topología geométrica, algebraica, métrica, de puntos y topología sin sentido (el autocrítico). La informática también es bastante amplia y tiene muchas subáreas matemáticas, por lo que esperaría muchas aplicaciones de ideas topológicas en CS. Marshall Stone dijo "siempre topologizar", y los informáticos con los antecedentes necesarios a menudo lo han hecho. Suficiente bla. Algunos ejemplos.

Estos ejemplos no son solo problemas de CS difíciles resueltos por la topología. A veces, una noción topológica se transfiere muy bien a un entorno de CS o proporciona la base para una subárea de CS.

1. El teorema de compacidad de la lógica proposicional es una consecuencia del teorema de Tychonoff. La compacidad para la lógica de primer orden generalmente se demuestra de manera diferente. La compacidad es una herramienta importante en la teoría de modelos clásicos.

2. El teorema de representación de Stone para álgebras booleanas relaciona modelos de lógica proposicional, álgebras booleanas y ciertos espacios topológicos. Los resultados de la dualidad de tipo piedra se han derivado de estructuras utilizadas en lógica algebraica y semántica de lenguaje de programación.

3. Nick Pippenger aplicó el teorema de Stone al álgebra booleana de los idiomas regulares y utilizó la topología para probar varios hechos sobre los idiomas regulares. Vea el comentario de Jean-Eric Pin para un trabajo más reciente sobre topología en teoría del lenguaje.

4. En los métodos formales, existen las nociones de seguridad y propiedad de la vida. Toda propiedad de tiempo lineal puede expresarse como la intersección de una propiedad de seguridad y de vida. La prueba utiliza topología elemental.

5. Martín Escardó ha desarrollado algoritmos y programas escritos para buscar conjuntos infinitos. Creo que la compacidad es un ingrediente clave de ese trabajo.

6. El trabajo de los topólogos polacos (como Kuratowski) nos dio operadores de cierre. Los operadores de cierre en redes son una parte crucial de la teoría de la interpretación abstracta, que subyace en el análisis estático de programas.

7. Los operadores de cierre y otras ideas topológicas son la base de la morfología matemática.

8. La noción de operadores de interiores también de la escuela polaca es importante en la axiomatización de las lógicas modales.

9. Gran parte de la informática se basa en estructuras basadas en gráficos. Algunas aplicaciones requieren nociones más ricas de conectividad y flujos que las que proporcionan los gráficos y la topología es el siguiente paso natural. Esta es mi lectura de los autómatas de dimensiones superiores de van Glabbeek en teoría de concurrencia y la aplicación de Eric Goubault de la topología geométrica a la semántica de los programas concurrentes.

10. Posiblemente, la aplicación que recibe más prensa es la aplicación de topología (inicialmente algebraica, aunque también existen más presentaciones combinatorias) para caracterizar ciertos escenarios de tolerancia a fallas en la computación distribuida. Además de Herlihy y Shavit mencionados anteriormente, Borowsky y Gafni, y Saks y Zaharouglou también dieron pruebas para el primer avance de este tipo. El marco de computabilidad asíncrono produjo más resultados similares.

11. El teorema del punto fijo de Brouwer ha dado lugar a varios problemas que estudiamos. Más recientemente en el estudio de la teoría algorítmica de juegos, la clase de complejidad PPAD y la clase de complejidad FixP de problemas de punto fijo.

12. El teorema de Borsuk-Ulam tiene varias aplicaciones para gráficos e incorporaciones métricas. Estos están cubiertos en el libro de Jiří Matoušek.

Estas son pocas elecciones en lo que hay ahí fuera. ¡Buena suerte!

La teoría de dominios es de naturaleza altamente topológica y, más bien como una aplicación única de topología, es más o menos su propio subcampo de topología. Su aplicación en la semántica de denominación de los lenguajes de programación, especialmente los funcionales, es sin duda una de las aplicaciones más importantes de la topología en informática. Los valores (incluidas las funciones) reciben semántica en términos de DCPO (órdenes parciales dirigidas completas) o alguna de esas estructuras. Las ecuaciones de dominio recursivo como se pueden resolver en esta configuración, dando semántica a bestias como la$D\cong [D\to D]$$\lambda$-cálculo. La semántica se basa fundamentalmente en la noción de aproximación, dada por el ordenamiento, y la solución de ecuaciones de punto menos fijo, y generalmente se garantiza que las soluciones existen.

Los resultados de la semántica denotativa son conexiones con la interpretación abstracta y el análisis y verificación de programas.

La investigación actual incluye proporcionar semántica denotacional para concurrencia y para lenguajes cuánticos.

Abramsky y Jung dan una buena encuesta de las ideas centrales: la teoría del dominio .

Los límites en el número de componentes conectados, y más generalmente los números de Betti, de variedades semi-algebraicas y arreglos de hiperplano (y sus complementos) se han utilizado para varios límites inferiores en el cálculo algebraico y los árboles de decisión. Para algunas referencias importantes, vea:

Michael Ben-Or, Límites inferiores para árboles de cómputo algebraico, STOC 1983, pp. 80-86.

Andrew Chi-Chih Yao, Complejidad del árbol de decisión y números de Betti, J. Comput. System Sci. 55 (1997), no. 1, parte 1, 36-43 (STOC 1994).

Anders Bjorner y Laszlo Lovasz, árboles de decisión lineal, arreglos subespaciales y funciones de Mobius, J. Amer. Matemáticas. Soc. 7 (1994), no. 3, 677-706.

En una vena diferente pero algo relacionada, Smale utilizó la topología de una manera bastante interesante (en particular, la cohomología del grupo de trenzas) para reducir la complejidad de la búsqueda de raíces en el modelo Blum-Shub-Smale:

Smale, S. Sobre la topología de algoritmos, IJ Complexity, 3 (2): 81-89, 1987.

Análisis computable y computabilidad sobre .$2^{\omega}$

Esto está relacionado con la respuesta de Dave y la teoría del dominio. El argumento básico aquí es que la computabilidad se basa inherentemente en operaciones locales y observaciones finitas . Puede pensar en la computabilidad como una noción refinada de topología. El ejemplo más claro es que:

Todas las funciones computables (Oracle Turing) son continuas. Por otro lado, cada función continua es oracle Turing computable con un oráculo adecuado.

Puede encontrar más en el libro de Klaus Weihrauch "Análisis computable". También puede echar un vistazo al bonito libro de Steven Vickers llamado "Topología a través de la lógica".

Otros dos documentos que podrían ser relevantes para su encuesta ...

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Un enfoque topológico para el reconocimiento, ICALP 2010, Parte II, Lecture Notes in Computer Science 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162.

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Dualidad y teoría de la ecuación de los idiomas regulares, Premio al mejor trabajo de ICALP 2008, Track B, ICALP 2008, Parte II, Lecture Notes in Computer Science 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257.

No olvide la conjetura de Kneser y la prueba de Kahn / Saks / Sturtevant para la conjetura de Aandera-Rosenberg-Karp.

No he visto el trabajo mencionado de Robert Ghrist , anteriormente en Illinois pero ahora en U Penn, aplicando topología a cosas como redes de sensores y robótica. Aquí hay una buena entrevista.

También está muy relacionado con el trabajo de Gunnar Carlsson et al en la aplicación de topología al análisis de datos .

Quizás no sea el STOC / FOCS TCS, sino definitivamente la informática.

Las teorías para comprender la concurrencia y el modelado de cálculos simultáneos se entienden mejor topológicamente. Además del famoso trabajo de Herlihy y Shavit sobre la estructura topológica de la computabilidad asincrónica mencionada en una respuesta anterior, Eric goubault ha trabajado en Modelado de concurrencia con geometría y el trabajo de Pratt en aplicaciones de espacios Chu para concurrencia en el grupo Stanford Concurrency también es interesante aunque no estoy familiarizado con su trabajo.

Todo el trabajo iniciado por Kitaev sobre el enfoque topológico de una computadora cuántica tolerante a fallas. Ver el artículo original de Kitaev o, por ejemplo, las notas de clase de John Preskill .

Nadie ha mencionado aún la topología algebraica dirigida , que de hecho se desarrolló para proporcionar una caja de herramientas topológica algebraica adecuada para el estudio de la concurrencia.

También hay varios enfoques topológicos de baja dimensión para los temas de la teoría de la computación, todos bastante nuevos:

• Diversos enfoques para la computación cuántica anyónica tolerante a fallas basada en la teoría de las trenzas. Ver, por ejemplo, AQUÍ y AQUÍ . También a redes de cálculos cuánticos adiabáticos AQUÍ .
• Formalismos esquemáticos basados ​​en topología para cálculo lambda (por ejemplo , AQUÍ , páginas 46-48 y AQUÍ ) y para cálculo de pi de Milner ( AQUÍ ).
• Usando la concatenación de enredos de colores para modelar la recursión y las cadenas de Markov. Ver, por ejemplo, AQUÍ y AQUÍ . De hecho, está comprobado (no publicado) que cualquier cálculo de máquina de Turing y cualquier red neuronal recurrente de primer orden se puede modelar de esta manera.
• Existe un formalismo teórico de categoría superior para la computación cuántica en el cual los diagramas topológicos representan cálculos, y los diagramas topológicamente equivalentes representan diferentes procedimientos con contenido computacional idéntico. Ver AQUÍ .

Algunas aplicaciones para incrustaciones métricas.

Consulte este libro de Matousek: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

Consulte también estos documentos:

• Bi-Lipschitz incrustaciones en espacios euclidianos de baja dimensión, J. Matousek (1990) (Utiliza el teorema de van Kampen para demostrar un límite inferior)
• Inaproximidad para las incorporaciones métricas en R ^ d, J. Matousek y A. Sidiropoulos

Lee este libro:

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Consulte este libro, Complejidad computacional: una perspectiva cuantitativa, estudia el tamaño de algunas clases de complejidad utilizando herramientas topológicas limitadas por recursos.

Da una visión topológica interesante sobre el problema vs . Básicamente, si entonces es topológicamente pequeño. La clase -completa es topológicamente pequeña. Según el autor, la no topología topológica de significa que la segunda categoría de Baire.N P P ≠ N P N P - P N P N P - $P$$NP$$P \ne NP$$NP-P$$NP$$NP-P$