Jerarquía uniforme de problemas que abarcan complejidad y jerarquías computacionales

¿Alguien sabe de un conjunto de problemas que varían uniformemente y abarcan una de las jerarquías "interesantes" de complejidad y computabilidad? Por interesante, quiero decir, por ejemplo, la Jerarquía Polinómica, la Jerarquía Aritmética o la Jerarquía Analítica. O tal vez (N) P, (N) EXP, 2 (N) EXP, $\ldots$

Más concretamente: puede dar un conjunto uniforme de problemas que caracterizan la jerarquía aritmética: . Pero estos no siempre son los más útiles para reducir a problemas reales. $0, 0', \overline{0'}, 0'', \overline{0''},\ldots$

Por otro lado, el libro de Harel, Kozen y Tiuryn tiene un conjunto de problemas de mosaico variables que son NP, $\Pi^0_1$ , $\Sigma^0_2$ y $\Sigma^1_1$ completos. Los problemas son útiles para mostrar reducciones, pero no está del todo claro si se generalizan uniformemente para cubrir los otros niveles de las jerarquías en las que se sientan.

¿Alguien sabe de un conjunto de problemas concretos y uniformes que abarquen una jerarquía?

EDITAR: Solo para aclarar, sé que las 3 jerarquías que doy sobre todo tienen definiciones estándar en términos de fuerza cuantificadora alterna. Eso no es lo que estoy buscando. Estoy buscando algo diferente, como un juego en un gráfico o un rompecabezas jugado con lazos.

cc.complexity-theory computability

— Mark Reitblatt
fuente

Hay problemas basados en gráficos (por ejemplo, accesibilidad) y problemas basados en lógica (evaluación de un circuito o una fórmula de primer orden). pd: ¿has intentado convertir el mosaico en un juego entre dos jugadores con un número específico de rondas o potencia computacional limitada? Por cierto, podría ayudar si aclaras lo que quieres decir con las palabras "uniforme" y "concreto".

— Kaveh

Sí, hay problemas de gráficos o circuitos que tienen variaciones completas para un par de niveles. Pero, ¿puedes encontrar análogos completos para todos los niveles de una jerarquía? Por uniforme quiero decir que para subir en la jerarquía simplemente cambias algún parámetro de manera uniforme. Por ejemplo, aumenta el número de X en uno, donde X es algún parámetro del problema. Por concreto quiero decir informalmente accesible. No considero que las jerarquías del problema de detención sean particularmente accesibles. Por otro lado, algo como SAT o QBF es más concreto.

— Mark Reitblatt

Continuando con los comentarios de Kaveh: es probable que dicho lenguaje también sea p-isomorfo para TQBF, a menos que alguien planee probar que la conjetura del isomorfismo de Berman-Hartmanis falla en algún (o todos) niveles de PH. En este caso, sería un disfraz muy delgado, ya que sería simplemente una nueva codificación de TQBF, es decir, usted anotó las fórmulas proposicionales cuantificadas utilizando una codificación booleana diferente.

— Joshua Grochow

@ Mark: No tengo una buena intuición para la conjetura del isomorfismo. El documento original de BH sugirió que podría ser cierto; Luego, Joseph y Young sugirieron que las funciones unidireccionales podrían mostrar que es falso (básicamente: aplicar una función unidireccional a SAT para obtener un conjunto NP completo que probablemente no sea isomorfo a SAT), pero luego Rogers mostró mundos relativizados realizando todo cuatro posibilidades son la existencia de funciones unidireccionales y la conjetura del isomorfismo. Entonces no sé si hay realmente consenso en este momento. Aquí está el artículo de Rogers: dx.doi.org.proxy.uchicago.edu/10.1006/jcss.1997.1486

— Joshua Grochow

(El artículo de John Rogers parece ser aproximadamente 2 años después de la discusión en el blog de CC, pero no sé la historia exacta de cuándo obtuvo el resultado, a diferencia de cuándo se publicó por primera vez).

— Joshua Grochow

[Partiendo de la visión de Kaveh en los comentarios.] Parece poco probable que alguien pueda encontrar una familia de problemas que sea significativamente diferente de la fórmula booleana cuantificada, sin refutar el análogo de PH de la conjetura del isomorfismo de Berman-Hartmanis. Sin eso, cualquier problema que no solo sería equivalente a , sino que de hecho sería isomorfo. Una forma de definir el isomorfismo entre dos idiomas aquí es tomar un solo lenguaje abstracto, pero codificar sus objetos (en este caso, fórmulas booleanas cuantificadas) usando dos codificaciones booleanas diferentes. $QBF_k$

Por otro lado, el isomorfismo no es necesariamente un buen juez de lo que es útil para que las personas presenten pruebas. Después de todo, en la jerarquía aritmética, el Teorema del isomorfismo de Myhill demuestra el análogo aritmético de la conjetura del isomorfismo de BH (de hecho, eso es historia al revés ya que BH fue motivado por Myhill). Sin embargo, como señala la pregunta, hay varias caracterizaciones de "aspecto diferente" de varios niveles, algunas de las cuales son más útiles para las pruebas que otras.

Aunque parece poco probable que alguien presente una familia de idiomas tan uniforme para cada nivel de PH, las dos encuestas ( una , dos ) de Schaefer y Umans discuten problemas naturales que al menos "parecen diferentes" de QBF para los primeros niveles de PH.

— Joshua Grochow
fuente

Buena conexión a BH. :)

— Kaveh