¿Complejidad de n-reinas-finalización?

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Los problemas clásicos -queens preguntan, dado un número entero positivo , si hay una matriz de números enteros que satisfacen las siguientes condiciones: $n$ $n$ $Q[1..n]$

para todo $1\le Q[i] \le n$ $i$
para todo $Q[i] \ne Q[j]$ $i\ne j$
para todo $Q[i]-i \ne Q[j]-j$ $i\ne j$
para todo $Q[i]+i \ne Q[j]+j$ $i\ne j$

Cada número entero representa la posición de una reina en la ésima fila de un tablero de ajedrez ; Las restricciones codifican el requisito de que ninguna reina ataque a ninguna otra reina. Es fácil demostrar que no hay soluciones cuando o , y las soluciones de forma cerrada se conocen para todos los demás valores de . Por lo tanto, como un problema de decisión , el problema de -queens es completamente trivial. $Q[i]$ $i$ $n\times n$ $n=2$ $n=3$ $n$ $n$

El algoritmo de retroceso estándar para construir una solución de filas coloca especulativamente reinas en un prefijo de las filas y luego determina recursivamente si existe una colocación legal de reinas en las filas restantes. El subproblema recursivo se puede formalizar de la siguiente manera: $n$

Dado un entero y una matriz de enteros, ¿es un prefijo de una matriz que describe una solución al problema -queens? $n$ $P[1..k]$ $P$ $Q[1..n]$ $n$

¿Es este el problema de decisión más general NP-hard?

Se sabe que varias preguntas cercanas son NP-difíciles, incluida la finalización del cuadrado latino [ Colbourn 1984 ], la finalización de Sudoku [ Yato y Seta 2002 ], y una generalización diferente de -queens [ Martin 2007 ], pero esta pregunta específica parece haber escapado Cualquier atención seria. $n$

Preguntas relacionadas sobre cstheory.se:

cc.complexity-theory board-games

— Jeffε
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2

Me pregunto si las pruebas de completitud NP existentes de Sudoku, terminación de cuadrados latinos (y toneladas de otros problemas similares) ... realmente trata con representaciones sucintas / dispersas de las instancias (por ejemplo, en la prueba de NPC Latin Square Completion, Colbourn dice "La membresía en NP es inmediata" pero no menciona ningún problema de codificación de instancias).

— Marzio De Biasi

1

@Marzio: estas pruebas dependen en gran medida de la representación, y (aunque esto generalmente ni siquiera se menciona), a menudo ni siquiera es trivial establecer membresía en NP, por ejemplo, consulte cstheory.stackexchange.com/a/5559/109

— András Salamon

16

Han tomado años, pero esta publicación nos inspiró a escribir un artículo que salió hoy.

La respuesta es que n La finalización de Queens es NP-Complete. Sin embargo, para una divulgación completa, debemos mencionar que resolvemos una ligera variante del problema. En nuestro caso, el conjunto de reinas no tiene que ser un prefijo del conjunto completo. Así que técnicamente no hemos resuelto el problema exacto que se pregunta aquí. Sin embargo, sería extremadamente sorprendente si la versión de n Queens Completion de esta consulta no fuera también NP-Complete.

Quiero repetir las gracias que le pusimos en el documento a Jeff por hacer esta pregunta aquí.

La complejidad de n Queens Completion Journal of AI Research Gent, Jefferson, Nightingale doi: 10.1613 / jair.5512 http://www.jair.org/papers/paper5512.html

— Ian Gent
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Agradable. ¡Felicidades!

— Jeffε

Tengo una pregunta ingenua: me parece que si hay un prefijo (correcto) de una longitud

, entonces la transición a un conjunto de

se puede hacer comprobando la diagonal del prefijo y, por lo tanto, en tiempo lineal . ¿Es así o me estoy perdiendo algo? (Entiendo que el problema original en la publicación no implica el prefijo correcto )

n - 1

$n-1$

n

$n$

— Serg Rogovtsev

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(Esto apunta a algunos resultados relacionados. Inicialmente pensé que los resultados relacionados están muy relacionados, pero no puedo llenar los vacíos rápidamente, por lo que tal vez no estén tan relacionados después de todo. Quizás aún sean útiles).

El ejercicio 118 en el (borrador de) la sección 7.2.2.2 de El arte de la programación de computadoras analiza un problema muy similar. En la solución, Knuth acredita un artículo que a su vez acredita

Gardnera, Gritzmannb, Prangenbergc, Sobre la complejidad computacional de la reconstrucción de conjuntos de redes a partir de sus rayos X , 1999

El ejercicio 118 demuestra que la TOMOGRAFÍA DIGITAL BINARIA es NP completa. La entrada de este problema consiste en sumas lineales y diagonales, todas de . $[2]=\{0,1\}$

$r,c\in[2]^m$ $a,b\in[2]^{2m-1}$

SALIDA: si existe tal que $x\in[2]^{m\times m}$ $\sum_j x_{ij}=r_i$ $\sum_i x_{ij}=c_j$ $\sum_i x_{i,s-i}=a_s$ $\sum_i x_{i,d+i}=b_{d+m-1}$

No me queda claro cómo reducir esto a su problema. Una observación que podría ayudar es que el resultado de su problema también depende solo de las sumas, no del posicionamiento exacto de las reinas. (Véase el Teorema 2.4 en [Rivin, una solución de programación dinámica para el problema n-Queens, 1992], aunque quizás esto sea fácil de ver).

Knuth demuestra que la TOMOGRAFÍA DIGITAL BINARIA es NP completa por una reducción del PROBLEMA DE CONTINGENCIA BINARIA. Este es un problema muy similar, excepto en 3 dimensiones, y sin diagonales.

${xi},{xj},{xk}\in[2]^{n\times n}$

SALIDA: si existe $x\in[2]^{n\times n\times n}$ $\sum_i x_{ijk}={xi}_{jk}$ $\sum_j x_{ijk}={xj}_{ik}$ $\sum_k x_{ijk}={xk}_{ij}$

El artículo de Gardnera et al. parece reducirse de problemas NP-completos más estándar. No entiendo lo suficiente ninguna de las reducciones para explicarlo aquí, así que solo dejaré los punteros desde arriba para que los explore si lo desea.

Todo esto podría ser inútil, a menos que alguien descubra cómo reducir la TOMOGRAFÍA DIGITAL BINARIA a la pregunta que se hace.

— Radu GRIGore
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