Usos de las categorías

No soy un informático teórico. Soy un teórico de la homotopía estable que usa -categorías. He visto aplicaciones de la teoría de categorías y la teoría de topos a la informática teórica, y me preguntaba si había alguna forma de utilizar las categorías ∞ (y preferiblemente para mí, la teoría de la homotopía estable) en la informática teórica. Creo que HoTT debe ser una de esas aplicaciones, pero puedo estar equivocado porque no sé casi nada sobre HoTT. (Así que tampoco sé cómo se usa HoTT en TCS).$\infty$$\infty$

¡Aplicar ideas teóricas de homotopía más altas a CS todavía es un campo muy incipiente! Tengo entendido que ni siquiera es tan antiguo como un campo matemático.

Ciertamente, HoTT es el ímpetu central para tales ideas. Aun así, solo ha habido pocas aplicaciones de la teoría de categorías de "dimensión" superior a 2.

Una buena "ciencia de la computación" es la teoría del parche homotópico de Anguili et al . Muestran que algunas operaciones comunes y propiedades inherentes, gitcomo los sistemas de control de versiones, se pueden entender mejor utilizando la teoría del tipo de homotopía.

Otro tren de pensamiento bastante no relacionado es un trabajo interesante sobre la relación entre (2-) la teoría de la homología y la confluencia de los sistemas de reescritura de términos (o estructuras más complejas, como álgebras superiores). Algunos ejemplos son

Y. Guiraud Confluencia de reescritura lineal y homología de álgebras .

Y. Lafont & A. Proute Church-Rosser propiedad y homología de monoides .

Los informáticos teóricos hacen muchas cosas, una de las cuales es el modelado matemático de varias cosas de ciencias de la computación. Por ejemplo, nos gusta proporcionar modelos matemáticos de lenguajes de programación, para que las personas puedan probar cosas sobre los programas (como probar que el programa hace lo que se supone que debe hacer). En este sentido, siempre es bueno tener un buen suministro de técnicas matemáticas que nos darán modelos para varias cosas que los científicos de la computación inventan.

$D$$D \cong D^D$

$(\infty,1)$$\infty$

La única conexión entre la teoría de la homotopía estable y la teoría de tipos que conozco es el trabajo de Matthijs Vákár sobre la teoría de tipos dependiente lineal . Aparentemente, un modelo es la teoría de la homotopía estable, pero esto aún no se ha publicado, solo se insinuó al final del artículo vinculado.

Otro lugar donde podría buscar aplicaciones de la teoría de la homotopía (estable o no) en informática es la topología computacional . La homología persistente ha encontrado recientemente muchos usos, y la gente seguramente está buscando aplicaciones de teoría de la homotopía de un tipo similar. La idea básica es utilizar la topología algebraica para estudiar las propiedades de grandes conjuntos de datos.

Sin duda hay otras aplicaciones. Cody mencionó el uso de la teoría de la homotopía (bajo la apariencia de la teoría del tipo de homotopía) para estudiar los sistemas de control de revisión. También hay aplicaciones de la teoría de la homotopía para el estudio de computaciones paralelas y actuales, como " topología algebraica y concurrencia ". Alguien más conocedor puede ser lo suficientemente amable como para proporcionar mejores referencias. En cualquier caso, notará que todas estas aplicaciones (con la posible excepción de la teoría del tipo de homotopía) son bastante poco sofisticadas desde un punto de vista matemático, ¡lo que no significa que no tengan valor!

esto intenta esbozar conexiones más generales. parte de este programa puede considerarse una extensión muy reciente y más elaborada de la antigua correspondencia de Curry-Howard observada entre pruebas y programas. También existe una estrecha relación con la prueba automatizada de teoremas (también conocidos como asistentes de prueba). Muchas técnicas utilizadas en las pruebas de demostración de teoremas automatizados no se basan en una base matemática completamente sólida y la teoría de la homotopía agrega una base más firme.

Esta propuesta de un equipo considerable captura / encuesta gran parte de las conexiones conocidas actualmente con CS: Teoría del tipo de homotopía: Fundamentos unificados de matemática y computación (Propuesta MURI)

Licata de ese equipo está especialmente interesado en las aplicaciones científicas informáticas de la teoría de la homotopía. algunas de sus charlas, y una del fundador de Voevodsky del destacado axioma Univalence :

• Aplicaciones matemáticas y computacionales de la teoría del tipo de homotopía. Coloquio en la Universidad de Iowa. Noviembre de 2013. [ diapositivas ]

• Pruebas verificadas por computadora en la lógica de la teoría de la homotopía. Charla invitada en la Asociación para la reunión simbólica de América del Norte de lógica. Mayo de 2013. [ diapositivas ]

• Programación y prueba en la teoría del tipo de homotopía. Coloquio en Wesleyan, Princeton y Cornell. Primavera de 2013. [ diapositivas ]

• Ciencias de la Computación y Teoría de la Homotopía , video de 10m por Voevodsky / IAS