¿Hay un juego simple con complejidad asimétrica?

Considere la información completa de los juegos combinatorios de dos jugadores que terminan después de un número polinómico de movimientos, y de manera alterna, los jugadores eligen entre un número finito de movimientos permitidos. La pregunta habitual es cuán difícil es distinguir desde una posición determinada al ganador. Otra sería, lo difícil que es elegir un movimiento ganador desde una posición ganadora. (Aquí llamo a un movimiento ganador, si la posición sigue siendo ganadora después de jugarlo). Para diferenciar, llamaré a la POSICION-COMPLEJIDAD y la última MOVIMIENTO-COMPLEJIDAD.

Es fácil ver que si la MOVILIDAD-COMPLEJIDAD está en o , también lo es la POSICIÓN-COMPLEJIDAD: podemos calcular los movimientos óptimos y verificar quién gana al final. (Realmente no he pensado qué pasa si MOVE-COMPLEXITY está en , probablemente POSITION-COMPLEXITY está en algo así como .) Sin embargo, hay ejemplos ficticios cuando MOVE-COMPLEXITY es trivial y POSITION -COMPLEXITY es arbitrariamente difícil, como el juego (no muy interesante) de verificar cuál es la salida de un algoritmo, con los jugadores haciendo los siguientes pasos, permitiéndose solo un movimiento. Me he desviado un poco, mi pregunta principal es la siguiente. $P$ $PSPACE$ $NP$ $P^{NP}$

¿Existe un juego natural, donde la MOVILIDAD-COMPLEJIDAD de los dos jugadores es diferente?

Por ejemplo, el juego donde el primer jugador elige los valores de las variables de un CNF (que podría no tener una solución), mientras que el segundo jugador está tratando de resolver un rompecabezas SOKO-BAN (que podría no tener una solución), es Tal ejemplo.

cc.complexity-theory np board-games pspace

— domotorp
fuente

Realmente me gusta esta pregunta.

— Tayfun Pay

No sé si el juego QBF satisface tu condición, un jugador es un jugador existencial y otro es un jugador universal. Bueno, muchos juegos están en forma similar. Creo que si no hay dependencia entre los jugadores, entonces el juego no es un juego de dos jugadores, pero si hay una dependencia entre ellos, entonces (vagamente hablando) hay algunas interpretaciones que son similares al estilo QBF.

— Saeed

Es un comentario secundario, pero la mayoría de los juegos naturales (en el sentido jugado en el mundo real como el ajedrez, ir, ...) no terminan después de un número polinómico de movimientos, sino más bien exponencial (en el peor de los casos). ¿Tiene una razón particular para agregar esta restricción, además de obtener una relación polinómica entre MOVIMIENTO-COMPLEJIDAD y POSICIÓN-COMPLEJIDAD?

— Denis

Quizás se pueda crear una familia de ejemplos relajando las condiciones ganadoras de uno de los dos jugadores: por ejemplo, una partida de ajedrez en la que el blanco gana con un jaque mate estándar y el negro gana con un jaque mate o capturar a la reina blanca. Otro ejemplo puede ser GG con nodos de color rojo-azul, y uno de los dos jugadores puede ganar no solo de la manera estándar, sino también recolectando una cierta cantidad de nodos rojos. Pensaré más sobre posibles formalizaciones de ejemplos similares.

— Marzio De Biasi

Si el juego no tiene empates (y un número razonablemente limitado de posibles movimientos por turno), ¿el siguiente hecho implica que la respuesta es "no"? Un movimiento está ganando si y solo si ninguna de las respuestas del oponente está ganando.

— usul

Respuestas:

Quizás un juego bastante natural es el siguiente:

El jugador 1 se coloca en el medio de un laberinto y debe llegar a la salida para ganar.

El jugador 2 está en el mismo laberinto y debe recoger un conjunto de "componentes" para construir un controlador de radio que le permita cerrar la salida (y ganar).

$n$ $n$

Para que el juego sea más "interactivo", también podemos agregar algunas acciones adicionales al Jugador 2 que solo pueden causar una desaceleración polinómica en el cálculo del próximo movimiento para el Jugador 1; por ejemplo permitiéndole bloquear un número fijo de corredores del laberinto.

— Marzio De Biasi
fuente

$C$

Entonces es suficiente mirar algunos juegos naturales donde la POSICION-COMPLEJIDAD es asimétrica. Siempre necesitaremos cierta asimetría entre los jugadores para crear tales situaciones, pero esperamos que sea lo más natural posible.

$\cap$

$P_1$ $P_2$ $p(n)$ $i$ $P_i$

— Denis
fuente

Yo diría que es poco probable que "finito" signifique "constante" aquí.

— Kyle

De hecho, en los llamados juegos Picker-Chooser o Chooser-Picker es fácil construir ejemplos para los cuales la mejor estrategia de un jugador es una estrategia de emparejamiento simple, mientras que el otro tiene que resolver un 3-SAT en cualquier CNF especificado anteriormente, ese es un problema NP-completo.

Digamos, un juego Picker-Chooser es un juego asimétrico en una hipergrafía H = (V, E): Picker elige dos elementos no seleccionados de V, luego Chooser toma uno de estos y devuelve el otro a Picker. El seleccionador gana si obtiene todos los elementos de una A de E. Ahora, dada una fórmula F de CNF de 3-SAT, V es el conjunto de literales y E se da cuenta de algún dispositivo. Con todo, Picker siempre debe ofrecer x_i y x_i negado en todos los pasos (de lo contrario, pierde de inmediato), mientras que la selección del Selector es una entrada arbitraria de 0-1 para cualquier x_i, y gana al satisfacer F.

Vea los detalles en: A. Csernenszky, R. Martin y A. Pluhár, Sobre la complejidad de los juegos posicionales de selector-selector. Enteros 11 (2011).

o en: http://www.inf.u-szeged.hu/~pluhar/complexity_2011.pdf

— Andras Pluhar
fuente