Implicaciones de las variantes de hipótesis de Riemann en TCS

La hipótesis de Riemann de más de ½ siglo de antigüedad tiene profundas implicaciones en las matemáticas y ahora se prueba condicionalmente un gran edificio de teoría matemática y numerosas variantes. Recientemente encontré una referencia a un resultado condicional en TCS basado en la hipótesis de Riemann. Por lo tanto, me pregunto:

¿Cuáles son las principales implicaciones de la hipótesis de Riemann en TCS?

Para empezar, aquí hay un ejemplo de un artículo reciente, Polinomios de homomorfismo completos para VP de Durand, Mahajan, Malod, de Rugy-Altherre y Saurab. De la introducción del artículo:

Una de las preguntas abiertas más importantes en la teoría de la complejidad algebraica es decidir si las clases VP y VNP son distintas. Estas clases, definidas por primera vez por Valiant en [13, 12], son los análogos algebraicos de las clases de complejidad booleana P y NP, y separarlas es esencial para separar P de NP (al menos de manera no uniforme y asumiendo la Hipótesis de Riemann generalizada, sobre el campo , [3]).$\mathbb{C}$

Primero, no conozco ninguna aplicación CS de la hipótesis de Riemann como tal. Existen diversas aplicaciones de generalizaciones de RH.

En segundo lugar, una nota terminológica: contrariamente a la creencia popular, no existe tal cosa como "la hipótesis de Riemann generalizada" o "la hipótesis de Riemann extendida". Ambos términos se usan más o menos indistintamente en la literatura como una denotación suelta de cualquier tipo de generalizaciones de la HR a alguna clase de funcionesNo tienen un significado específico fijo, o al menos no son consistentes entre los documentos de diferentes autores (o incluso diferentes documentos del mismo autor).$L$

El resultado mencionado en el OP se basa en el resultado de Koiran de que la teoría existencial de (que comúnmente se conoce con el nombre confuso de "Nullstellensatz de Hilbert") está en AM y, por lo tanto, en la jerarquía polinómica. Asume la HR para las funciones Dedekind ; específicamente, se basa en una versión efectiva del teorema de densidad de Chebotarev.$\mathbb C$$\zeta$

Otra clase de aplicaciones CS explota el hecho de que cada módulo de Dirichlet cuadrático no trivial asume para algunos , originalmente debido a Ankeny, a menudo indicado con una referencia a Bach que mejoró la constante en la notaciónSe basa en la RH para las funciones de los caracteres de Dirichlet cuadráticos, que es más débil que la de las funciones Dedekind . (El resultado en realidad es más general para los caracteres Hecke de orden finito, y en general necesita la RH para las funciones de dichos caracteres Hecke, que de hecho es equivalente a la RH para Dedekind$m$$\chi(x)=-1$$x=O((\log m)^2)$$O$$L$$\zeta$$L$$\zeta$-funciones. Sin embargo, las aplicaciones CS que conozco no necesitan esto.) Las consecuencias son que uno puede desrandomizar varios algoritmos, como el algoritmo de prueba de primalidad Miller-Rabin o el algoritmo Shanks-Tonelli para calcular primos de módulo de raíces cuadradas.

Hasta donde yo sé, RH no es útil para determinar de forma determinista los números primos en un intervalo dado, como se aludió en un comentario anterior. Esto se seguiría de la conjetura de Cramér o un límite similar en las brechas principales, pero la HR es demasiado débil para probar tales límites (el término de error en el teorema del número primo es al menos de orden aproximadamente sin importar qué).$\sqrt x$

Suponiendo una hipótesis de Riemann extendida, LM Adleman y HW Lenstra dieron un algoritmo de tiempo polinomial para encontrar un polinomio irreducible de un grado deseado sobre un campo finito: http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICATIONS/1986a/art .pdf