Complejidad de línea recta de monomios

Deje ser un campo. Como de costumbre, para una definimos como la complejidad lineal de sobre . Sea el conjunto de monomios de , es decir, los monomios que aparecen en con coeficiente distinto de cero. $k$ $f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $L(f)$ $f$ $k$ $F$ $f$ $f$

¿Es cierto que ? $\forall m\in F:L(m)\le L(f)$

¿ Se conoce incluso un límite superior más débil para ? $L(m)$

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— Gorav Jindal
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Respuestas:

Si entonces tiene monomios y . Por un argumento de conteo, hay programas de línea recta de longitud . Como tiene más monomios, para algunos necesitamos un programa más largo. De hecho, este argumento da un monomio para el cual .

f = (Σ_{i = 1}^{n} x_{i})^{2^{n}}

$f=(\Sigma_{i=1}^n x_i)^{2^n}$

(\binom{2^{n} + n - 1}{n - 1}) \approx 2^{n^{2}}

${2^n+n-1\choose n-1} \approx 2^{n^2}$

L (f) = O (n)

$L(f)=O(n)$

2^{O (n \log n)}

$2^{O(n\log n)}$

O (n)

$O(n)$

f

$f$

m

$m$

L (m) = \tilde{Ω} (L^{2} (f))

$L(m)=\widetilde\Omega(L^2(f))$

— domotorp
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Como un pequeño ejemplo constructivo basado en la respuesta de domotorp, uno puede tomar con mientras que .

f = (x + y)^{8}

$f=(x+y)^8$

L (f) = 4

$L(f)=4$

L (x^{7} y) = L (x^{7}) + 1 = 5

$L(x^7y)=L(x^7)+1=5$

— Bruno

@domotorp, gracias por la buena respuesta. ¿Esto parece ser el límite superior también? ¿O puede haber mejores límites inferiores?

— Gorav Jindal

No lo sé, pero dado que este ejemplo fue tan simple, supongo que la brecha puede ser mayor, posiblemente incluso exponencial.

— domotorp

Tengo una "prueba" de que hay un límite superior lineal ... ¿Dónde me equivoco (ya que demostró un límite inferior cuadrático)? Es como sigue: Con una SLP de tamaño , a calcular un polinomio de grado total . Ahora tiene un SLP de tamaño como máximo con exponenciación binaria. Un monomio de grado- variable tiene entonces un SLP de tamaño como máximo (límite muy aproximado): calcule todos los , , y luego su producto. Por lo tanto, si consideramos un polinomio , su grado total es como máximo , y cada monomio tiene un SLP de tamaño como máximo

L

$L$

\leq 2^{L}

$\le 2^L$

x^{D}

$x^D$

2 \log D

$2\log D$

D

$D$

n

$n$

2 n \log D + n - 1

$2n\log D+n-1$

x_{i}^{D_{i}}

$x_i^{D_i}$

D_{i} \leq D

$D_i\le D$

f

$f$

2^{L (f)}

$2^{L(f)}$

2 n L (f) + n - 1

$2nL(f)+n-1$ .

— Bruno

@Bruno: prueba de Niza y no hay nada malo en ello, pero no es lineal, a medida que se multiplican y . Pero como sabemos que puede depender como máximo de las variables , podemos suponer , lo que implica el límite cuadrático requerido. Así, .

n

$n$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

L (f) + 1

$L(f)+1$

n \leq L (f) + 1

$n\le L(f)+1$

L (m) = O (L^{2} (f))

$L(m)=O(L^2(f))$

— domotorp

Nota: Esta es una expansión de un comentario anterior, ya que el OP solicitó explícitamente límites superiores más débiles.

El grado total del polinomio está delimitado por ya que cada operación puede duplicar como máximo el grado del polinomio. Por lo tanto, para cada , . $f$ $2^{L(f)}$ $m\in M$ $\deg(m)\le 2^{L(f)}$

Ahora, para algunas variables grados , hay un SLP que calcula por exponenciación binaria si el tamaño es como máximo . Para un monomio , se puede calcular por separado cada y luego tomar su producto. Por lo tanto, donde es el grado total de (que es, por supuesto, un límite superior en cada ). $x$ $d$ $x^d$ $2\log(d)$ $m=x_1^{d_1}\dotsb x_n^{d_n}$ $x_i^{d_i}$ $L(m)\le 2n\log(d) + (n-1)$ $d$ $m$ $d_i$

Juntos, se obtiene para : $m\in M$

L (m) \leq 2 n \log (\deg (m)) + (n - 1) \leq 2 n L (f) + (n - 1) .

$L(m)\le 2n\log(\deg(m))+(n-1)\le 2nL(f)+(n-1).$

Como , uno puede concluir $n\le L(f)+1$

\forall m \in M, L (m) \leq 2 L (f)^{2} + 3 L (f) .

$\forall m\in M, L(m) \le 2L(f)^2+3L(f).$

Observaciones El límite como se indica es muy duro. En particular, el límite superior en dado es que el segundo párrafo no es ajustado. Sin embargo, la respuesta de domotorp muestra que no se puede esperar un límite mucho mejor, y más precisamente que la dependencia cuadrática de no se puede eliminar. Para apretar la construcción, uno podría usar las construcciones más conocidas en las cadenas de adición . Tenga en cuenta que todavía no se conocen los límites precisos para este problema. $L(m)$ $L(f)$

— Bruno
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