¿Es la complejidad de Kolmogorov una función surjective?

Arreglemos una codificación de máquinas de Turing y una máquina universal de Turing, U, que en la entrada (T, x) emite cualquier salida de T en la entrada x (posiblemente ambas funcionando para siempre). Defina la complejidad de Kolmogorov de x, K (x), como la longitud del programa más corto, p, de modo que U (p) = x.

¿Hay una N tal que para todo n> N haya una x con K (x) = n?

Observación. Si definimos máquinas Turing universales de una manera diferente, la respuesta puede ser negativa. Por ejemplo, considere una U que en la entrada (T, x) simula T en x si la longitud de (T, x) es divisible por 100, y de lo contrario no hace nada. Se puede modificar este ejemplo de varias maneras para obtener contraejemplos para diferentes definiciones de máquinas Turing universales.

Solo un comentario extendido sin conocimientos profundos: tal vez pueda engañar a la codificación de una máquina de Turing y construir una codificación artificial que conduzca a una complejidad de Kolmogorov surjective:

• representa la máquina de Turing que emite 0 (1 estado TM);$0$$0$
• representa la máquina de Turing que emite p + 1 (el número representado por la cadena binaria p más uno); es simplemente una versión "comprimida" implícita de una TM decidible que genera p + 1 ;$0p$$p+1$$p$$p+1$
• representa la p + 1 -máquina de Turing en una enumeración estándar (la enumeración puede omitir los TM ya incluidos con 0 y 0 p ).$1p$$p+1$$0$$0p$

La TM universal correspondiente en la entrada verifica cuál es el valor de b , si es 0 , simplemente genera x + 1 , de lo contrario simula TM M x + 1 ( M 0 cuando x es la cadena vacía); tenga en cuenta que M x + 1 incrusta las entradas.$bx$$b$$0$$x+1$$M_{x+1}$$M_0$$x$$M_{x+1}$

Para todas las cadenas , 1 ≤ K ( x ) ≤ | x | + 1 ; y para todos los n ≥ 1 hay 2 n cadenas de longitud n pero solo hay 2 n - 1 - 1 programas de longitud < n que se pueden representar utilizando la codificación 1 p ; y solo 2 n - 1 programas de longitud n que se pueden representar usando el 1 $x$$1 \leq K(x) \leq |x|+1$$n \geq 1$$2^{n}$$n$$2^{n-1}-1$$< n$$1p$$2^{n}-1$$n$$1p$codificación entonces al menos una cadena de longitud n no se puede representar con un programa 1 p de longitud ≤ n ; pero seguramente se puede representar con el programa 0 x ′ de longitud n + 1 (no nos preocupamos si también hay un programa 1 p de la misma longitud n + 1 que lo genera).$x'$$n$$1p$$\leq n$$0x'$$n+1$$1p$$n+1$

Podemos concluir que para todo , existe una cadena x ' , | x ′ | = n tal que K ( x ' ) = n + 1 (por lo que este K particular es sobreyectivo).$n > 1$$x', |x'|=n$$K(x') = n+1$