Especificación mínima de la teoría de tipo Martin-Löf

Estoy leyendo la presentación formal de la teoría de tipos de Martin-Löfs (apéndice del libro HoTT ). Los autores introducen una jerarquía de universos, luego y también los tipos W y los números naturales N (inductivamente a través de 0 y s u c c ). Finalmente, también agregan tipos inductivos más altos .$\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$$W$$\mathbb N$$0$$succ$

Pero luego me pregunto por qué es necesario hacer en la especificación de la teoría. ¿No son suficientes 1 y + y tipos de datos algebraicos , en la encarnación de tener tipos W , para configurarlo? Por ejemplo, con el enfoque de álgebra inicial . (O al menos después de que pasamos de MLTT a HoTT tenemos tipos inductivos, después de todo, los enteros Z emergen como un grupo de homotopía de tipo de círculo S dentro de la teoría).$\mathbb N$${\bf 1}$$+$$W$$\mathbb Z$$\mathbb S$

¿O tiene que ver con nuestra necesidad de tener una recursividad primitiva desde el principio, que se define justo al lado de en la presentación? Esta es una idea que tengo porque no sé exactamente cómo se define la "definición" en ese marco, o cómo funciona formalmente la extensión del lenguaje. Podría agregar que reconozco que al menos una noción informal de números y "mayor" ya se usa cuando se define la jerarquía de universos.$\mathbb N$

En caso de que se pueda ahorrar y la especificación no sea mínima, ¿hay otros elementos que, en principio, se podrían descartar? Por ejemplo, podría imaginar que 2 y luego + provenían de una combinación de Π , Σ , 0 , 1 , pero no pude hacerlo.$\mathbb N$$\bf 2$$+$$\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

El propósito del sistema descrito en el apéndice del libro HoTT es presentar algo que corresponda a lo que usa el libro. El libro pretende ser educativo. Por lo tanto, sería una mala idea hacer todo de manera minimalista. Por ejemplo, introducimos separado porque es instructivo ver cómo funcionan las construcciones inductivas en un caso familiar.$\mathbb{N}$

Tienes toda la razón, para arrancar tipos inductivos de tipos generales solo necesitas 0 y 2 . Inmediatamente obtienes 1 como$W$$0$$2$$1$ , y obtienes + de 2 y Σ . Una vez que tienes eso, obtienes todas las sumas finitas 1 + 1 + ⋯ + 1 . En este punto, es fácil hacer los tipos de datos algebraicos habituales.$0 \to 0$$+$$2$$\Sigma$$1 + 1 + \cdots + 1$

Si deja caer , entonces comienza desde Π , Σ , 1 y 2 , entonces no puede recuperar 0 porque cada tipo que haga estará habitado.$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$

Supongamos que solo tiene , Σ , 0 y 1 . Entonces no puede hacer 2 porque puede mostrar que cada construcción que realiza le devuelve 0 o 1 . De hecho, no puede formar ninguna familia dependiente interesante. Una familia más grande de tipos que está cerrada bajo Π ,$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$0$$1$$\Pi$ , 0 y 1 , pero que no contiene 2 es la ( - 1 ) -Tipos (proposiciones).$\Sigma$$0$$1$$2$$(-1)$