Conjeturas de larga data luego probadas trivialmente por una implicación

Me gustaría saber si ha habido conjeturas que durante mucho tiempo no han sido probadas en TCS, que luego fueron probadas por una implicación de otro teorema, que pueden haber sido más fáciles de probar.

Erdös y Pósa demostraron que para cualquier número entero y cualquier gráfico , tiene ciclos disjuntos o hay un conjunto de tamaño en la mayoría de los vértices modo que es un bosque. (en su prueba ).G G k f ( k ) S ∈ G G ∖ S f ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k $k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

La propiedad de Erdös y Pósa de un gráfico fijo conocido como el siguiente (no es una definición formal):$H$

La clase de gráficos admite la propiedad Erdös-Pósa si hay una función tal que para cada gráfico y para cualquier y para cualquier gráfico o hay copia isomorfa disjunta (wrt menor o subdivisión) de en o hay un conjunto de vértices , de modo que y no tiene copia isomorfa de . f H ∈ $\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

Después del resultado de Erdös y Pósa para una clase de ciclos que admiten esta propiedad, fue una pregunta abierta para encontrar una clase adecuada . En el gráfico menor V demostró que cada gráfico plano tiene un ancho de árbol acotado o contiene una gran cuadrícula como menor, al tener a mano el teorema de la cuadrícula demostraron que la propiedad de Erdös y Pósa es válida (para menor) si y solo si es una clase de gráficos planos. Sin embargo, el problema aún está abierto a la subdivisión. Pero la prueba del teorema wrt minor es de alguna manera simple y, hasta donde sé, no hay prueba sin usar el teorema de la cuadrícula.$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Los resultados recientes de los dígrafos proporcionan respuestas a preguntas abiertas de larga data en el área similar para los dígrafos. Por ejemplo, una pregunta muy básica es que existe una función tal que para cualquier gráfico y enteros , podamos encontrar un conjunto de a lo sumo vértices de manera que no tiene ciclo de longitud al menos o hay ciclos disjuntos de longitud al menos en . Este es solo un caso especial pero para$f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$$l=2$se conocía como la conjetura de un joven. Antes de eso, la conjetura de Younger fue probada por Reed et al con un enfoque bastante complicado.

Vale la pena mencionar que todavía hay algunos casos bastante triviales en los dígrafos. Por ejemplo, el Teorema 5.6 en el documento anterior es solo una extensión positiva de la conjetura de los jóvenes a una pequeña clase de dígrafos débilmente conectados, pero con el conocimiento y las herramientas matemáticas que tenemos no es trivial (o tal vez no conocemos un argumento simple para eso ) Quizás al proporcionar una mejor caracterización para esos gráficos, habrá una manera más fácil de demostrarlo.

el título de la pregunta se refiere a "implicaciones triviales" pero el contenido no especifica exactamente ese criterio, por lo que este es un mensaje un tanto confuso Un ítem / ejemplo semifamous que se acerca al tema general es la prueba de la ( conjetura ~ 4 década) Fuerte conjetura gráfica perfectaen 2002 por Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour y Robin Thomas. El problema de la complejidad algorítmica del reconocimiento de gráficos perfectos resultó estar estrechamente relacionado / estrechamente con la mecánica de la prueba de la conjetura del gráfico perfecto fuerte, aunque esto no se entendía ni se conocía exactamente antes de la prueba de la conjetura. en otras palabras, existía una conjetura abierta informal de que "el reconocimiento gráfico perfecto está en P" (o "baja complejidad", etc.) se resolvió relativamente rápido al basarse en el análisis / propiedades / mecánica del fuerte teorema gráfico perfecto.

Un algoritmo polinómico para reconocer gráficos perfectos Gérard Cornuéjols, Xinming Liu, Kristina Vušković 2003