¿Semántica categórica para lógicas no monótonas?

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¿Hay alguna semántica categórica para las lógicas no monotónicas?

Parece que la respuesta simple a esto es "No" ya que la noción obvia de composición falla para cualquier modelo de lógica no monotónica. Pero, ¿hay un modelo que realmente funcione con una noción de composición adecuadamente definida?

ct.category-theory semantics denotational-semantics

— David Boshton
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¿Estás preguntando si alguien lo ha hecho o si se puede hacer? Seguramente se puede hacer, pero no sé si se ha hecho. (No debe modelar la relación de consecuencia como la relación de subobjeto, sino pasar a una fibración más elegante.)

— Andrej Bauer

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Estoy preguntando si se puede hacer. ¿Tiene una referencia en un ejemplo de fibración?

— David Boshton

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La lógica no monotónica es una especie de área amplia: ¿tiene alguna lógica particular en mente? De todos modos, asumiendo derrotado :) que

está interesado en cualquier lógica en la que el principio de monotonía falle, y
desea una semántica categórica en el sentido de la teoría de la prueba categórica (en lugar de, por ejemplo, una semántica de hiperdoctrina), entonces

Una respuesta es que puede dar una semántica categórica razonable a cualquier lógica para la que se conozca un cálculo posterior con eliminación de cortes. Básicamente, los tipos son objetos, las formas normales del cálculo posterior son morfismos, y la eliminación de cortes le indica cómo implementar la composición. Esto le da la categoría inicial en cualquier categoría de modelos que termine usando para demostrar solidez e integridad.

$A \multimap B$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $X$ $B$ ) Sin embargo, tiene una excelente teoría de prueba, y sus modelos categóricos están estrechamente vinculados a la teoría de las categorías monoidales.

— Neel Krishnaswami
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Aunque, pensando en ello, no tengo idea de por dónde empezar de manera efectiva. ¿Qué es una categoría inicial?

— David Boshton

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Cuando demuestra solidez e integridad, considera una colección de modelos y luego muestra que el cálculo demuestra exactamente las implicaciones demostrables en cada modelo. Normalmente, también desea organizar su colección de modelos en una categoría, también, con un morfismo entre modelos que es una noción adecuada de homomorfismo de modelos. Entonces, mostrar solidez e integridad esencialmente significa mostrar que el término modelo del cálculo es el objeto inicial en la categoría de modelos.

— Neel Krishnaswami

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[Mis disculpas por escribir esto como respuesta, a pesar de que es básicamente un comentario a la respuesta anterior. Pero no se me permite publicar un comentario allí, ya que no tengo suficiente "reputación"]

La respuesta anterior no es correcta. La lógica lineal (así como cualquiera de sus sistemas subestructurales: MLL, MALL, MELL, ALL, lo que quieras ...) es perfectamente monótono .

La respuesta de Neel confunde "relevancia" y "no monotonicidad".

La relevancia puede verse como no monotonicidad del conector de inferencia del sistema . Lógica lineal es pertinente, en que la demostrabilidad de no implica la demostrabilidad de . La relevancia es una especie de no monotonicidad interna de la lógica. $\;\vdash A \multimap B$ $\vdash X\otimes A \multimap B$

Por otro lado, lo que las personas llaman lógicas no monótonas son sistemas en los que la demostrabilidad del sistema no es monótona: agregar un nuevo elemento al conjunto de fórmulas cambia el conjunto de fórmulas comprobables. Es una forma de metano -monotonicidad, porque concierne a la demostrabilidad y no al conector de inferencia. La lógica lineal es monótona: puede agregar lo que desee al conjunto de fórmulas y cualquier nueva regla de inferencia o axioma al sistema, pero si tenía una prueba del secuenciante antes, lo hará todavía lo tengo ahora, porque no has cambiado las otras reglas de inferencia del cálculo posterior. $\;\Gamma \vdash M: A$

Por lo que sé, las lógicas no reales (monótonas) son difíciles de dejar en una forma de cálculo posterior que disfruta de la eliminación de cortes, o cualquier otro tipo de sistema de prueba con una noción equivalente de terminar la reducción de la prueba. Esta es la razón por la cual los enfoques semánticos categóricos tradicionales difícilmente funcionarían para ellos.

— Domenico Ruoppolo
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