¿

¿Qué sucede si definimos ${\bf PPAD}$ tal manera que, en lugar de un circuito de polimerización de Turing-máquina / polisize, una máquina de Turing de espacio de registro o un circuito ${\bf AC^0}$ codifique el problema?

Recientemente dando algoritmos más rápidos para satisfacibilidad circuito para circuitos pequeños resultaron ser importante, así que me pregunto lo que ocurre con las versiones de permisividad en ${\bf PPAD}$ .

— domotorp
fuente

Buss y Johnson, "Pruebas proposicionales y reducciones entre los problemas de búsqueda de NP", demuestran que PPAD está cerrado bajo las reducciones de Turing, y estoy bastante seguro de que una modificación menor del argumento da la equivalencia de PPAD con su versión AC ^ 0 (uniforme) .

— Emil Jeřábek apoya a Monica el

@Emil: Gracias por la sugerencia, desafortunadamente las nociones en este documento están más allá de mí. Estaría agradecido si alguien pudiera decirme sus implicaciones. Además, permítanme vincular a su preimpresión aquí: math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/NPSearch/NPSearch.pdf

— domotorp

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$ Sí, . (Aquí y más abajo, supongo que se define como una clase uniforme. Por supuesto, con no uniforme deberíamos obtener ). $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$ $\ac$ $\ac$ $\mathrm{PPAD/poly}$

La idea básica es bastante simple: $\ac$ puede hacer un paso de un cálculo de máquina de Turing, por lo tanto, podemos simular un borde computable de tiempo polinomial mediante una línea polinomialmente larga de bordes calculables $\ac$ . Por otra extensión de la idea, uno podría simular bordes computables en tiempo polivinílico con un oráculo PPAD, es decir, PPAD está cerrado bajo la reducibilidad de Turing; Este argumento se da en Buss y Johnson .

Hay muchas definiciones equivalentes de PPAD en la literatura que difieren en varios detalles, por lo tanto, permítanme arreglar una aquí para mayor precisión. Un problema de búsqueda NP está en PPAD si hay un polinomio y funciones de tiempo polinomial , y con las siguientes propiedades. Para cada entrada de longitud , y representan un gráfico dirigido sin auto-bucles donde , y cada nodo tiene grado y fuera de grado como máximo . La representación es tal que si $S$ $p(n)$ $f(x,u)$ $g(x,u)$ $h(x,u)$ $x$ $n$ $f$ $g$ $G_x=(V_x,E_x)$ $V_x=\{0,1\}^{p(n)}$ $1$ $(u,v)\in E_x$ , entonces y ; si tiene un grado externo , ; y si tiene un grado , . $f(x,u)=v$ $g(x,v)=u$ $u$ $0$ $f(x,u)=u$ $u$ $0$ $g(x,u)=u$

El nodo es una fuente (es decir, tiene un grado de entrada y un grado de salida ). Si es cualquier fuente o sumidero (dentro del grado , fuera del grado ) que no sea , entonces es una solución para . $0^{p(n)}\in V_x$ $0$ $1$ $u\in V_x$ $1$ $0$ $0^{p(n)}$ $h(x,u)$ $S(x)$

Podemos definir manera similar, excepto que requerimos que esté en . $\ac\mathrm{PAD}$ $f,g,h$ $\mathrm{FAC}^0$

Ignoraré en la construcción por simplicidad. (No es difícil demostrar que uno puede tomarlo como una proyección, por lo tanto, -computable). $h$ $\ac$

Entonces, considere un problema PPAD definido por y , y arregle las máquinas de Turing que calculan y en el tiempo . Para cualquier , definimos un gráfico dirigido cuyos vértices son secuencias de la siguiente forma: $S$ $f$ $g$ $f$ $g$ $q(n)$ $x$ $G'_x=(V'_x,E'_x)$

$(0,u,c_1,\dots,c_k)$ , donde , y son las primeras configuraciones de en el cálculo de . $u\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $c_1,\dots,c_k$ $k$ $f(x,u)$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$ , donde , , , es el cálculo completo de , y son los primeros pasos en el cálculo de . $u,v\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $f(x,u)=v$ $c_1,\dots,c_{q(n)}$ $f(x,u)$ $d_1,\dots,d_k$ $k$ $g(x,v)$
$(1,v,d_1,\dots,d_k)$ , donde , y son los primeros configuraciones en el cálculo de . $0^{p(n)}\ne v\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $d_1,\dots,d_k$ $k$ $g(x,v)$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$ , donde , , , , es el cálculo de , y son los primeros pasos en el cálculo de . $u,v\in V_x$ $v\ne0^{p(n)}$ $0\le k\le q(n)$ $g(x,v)=u$ $d_1,\dots,d_{q(n)}$ $g(x,v)$ $c_1,\dots,c_k$ $k$ $f(x,u)$

$E'_x$ consta de las aristas en de los siguientes tipos: $V'_x\times V'_x$

$(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ si y (es decir, , o es un vértice aislado) $f(u)=v$ $g(v)=u$ $(u,v)\in E_x$ $u=v$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$
$(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$
$(1,u)\to(0,u)$

Formalmente, supongamos que es un polinomio que limita las longitudes de las representaciones binarias de todas las secuencias anteriores (de modo que podamos extender o acortar secuencias, y extraer sus elementos con funciones ); en realidad ponemos , y dejamos que se aíslen todos los vértices, excepto las secuencias mencionadas anteriormente. $r(n)$ $\ac$ $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$

Es fácil ver que las funciones , representan son -computable: en particular, podemos probar en si es un cálculo parcial válido de , podemos calcular partir de , y podemos extraer el valor de partir de . $f'$ $g'$ $G'_x$ $\ac$ $\ac$ $c_1,\dots,c_k$ $f(x,u)$ $c_{k+1}$ $c_k$ $f(x,u)$ $c_{q(n)}$

Los sumideros en son nodos de la forma donde es un sumidero en . Del mismo modo, las fuentes son donde es una fuente en , excepto que en el especial caso , hemos podado la línea temprano y la fuente correspondiente en es justa . Podemos suponer que la codificación de secuencias se realiza de tal manera que . $G'_x$ $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ $u$ $G_x$ $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ $v$ $G_x$ $v=0^{p(n)}$ $G'_x$ $(0,0^{p(n)})$ $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$

Por lo tanto, y definir un problema , y podemos extraer una solución a a partir de una solución a por un -Función que salidas El segundo componente de una secuencia. $f'$ $g'$ $\ac\mathrm{PAD}$ $S'$ $S(x)$ $S'(x)$ $\ac$ $h'$

— Emil Jeřábek apoya a Monica
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