Representando la función booleana por un polinomio

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Supongamos que tenemos una función booleana de . Está claro que un polinomio multivariado real tal que en puede ser multilineal. ¿Cuáles son algunas clases interesantes de funciones booleanas para las cuales el grado mínimo de $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$ ¿es conocida? ¿Tenemos ejemplos concretos?

boolean-functions

— T ....
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Relacionado: cstheory.stackexchange.com/questions/25291/…

— Andrej Bauer

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Si no está familiarizado con él, hay mucho trabajo relacionado con el "grado aproximado", que pregunta, ¿cuál es el grado mínimo de un polinomio que "se aproxima" a

? No sé lo suficiente como para dar referencias específicas, pero otros sí.

f

$f$

— usul

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$n$

\sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i}} f (x) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

$d$ $d2^d$ $d = 1$

— Yuval Filmus
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Este es un punto útil. ¿Cuál es una buena referencia para este tema?

— T ....

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Puedes echar un vistazo al reciente libro de Ryan O'Donnell, Análisis de las funciones booleanas.

— Yuval Filmus

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Las clases de funciones booleanas con presentación multilínea única contienen

Funciones pseudobooleanas sobre reales (Teorema 1.34 [1])
$[0,1]^n$

Antecedentes

"Cada función booleana puede ser representada por una forma normal disyuntiva y por una forma normal conjuntiva". (Teorema 1.4 (p.16 [1])

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

y sus aplicaciones contienen

$[0,1]^n$
$[0,1]^n$
(circuitos) Complejidad de la computación polinómica multilínea Función booleana
(análisis de Fourier) Límites inferiores para polinomios que calculan las funciones booleanas

Referencias

[1] Teoría de funciones booleanas, algoritmos y aplicaciones (Yves Crama, Peter L. Hammer, 2011)

— hhh
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Si obviamente. Ahora, ¿cómo responde eso a la pregunta?

— Emil Jeřábek