Mi ejemplo favorito de este tipo es la prueba basada en entropía del Lema de Shearer. (Aprendí de esta prueba y varias otras muy bonitas de Entropy and Counting de Jaikumar Radhakrishnan ).
Reclamación: suponga que tiene puntos en R 3 que tienen n x proyecciones distintas en el plano y z , n y proyecciones distintas en el plano x z y n z proyecciones distintas en el plano x y . Entonces, n 2 ≤ n x n y n z .norteR3nxyznyxznzxyn2≤nxnynz
Prueba: Sea un punto uniformemente elegido al azar de los n puntos. Supongamos que p x , p y , p z denotan sus proyecciones en los planos y z , x z y x y respectivamente. p=(x,y,z)npxpypzyzxzxy
Por un lado, , H [ p x ] ≤ log n x , H [ p y ] ≤ log n y y H [ p z ] ≤ log n z , por las propiedades básicas de la entropía.H[p]=lognH[px]≤lognxH[py]≤lognyH[pz]≤lognz
Por otro lado, tenemos y también H [ p x ] = H [ y ] + H [ z | y ] H [ p y ] = H [ x ] + H [ z
H[p]=H[x]+H[y|x]+H[z|x,y]
H[px]=H[y]+H[z|y]
H [ p z ] = H [ x ] + H [ y | x ] Agregar las últimas tres ecuaciones nos da:
H [ p x ] + H [ p y ] + H [ p z ] = 2 H [ x ] + H [ y ] + H [ y | x ] + HH[py]=H[x]+H[z|x]
H[pz]=H[x]+H[y|x]
H[px]+H[py]+H[pz]= 2H[x]+H[y]+ H[y|x]+ + H [ z | y ] ≥ 2 H [ x ] + 2 H [ y | x ] + 2 H [ z | x , y ] = 2 H [ p ] , donde usamos el hecho de que el condicionamiento disminuye la entropía (en general,
H [ a ] ≥ H [ a | b ]H[z|x] +H[z|y] ≥2H[x]+2H[y|x]+2H[z|x,y]= 2H[p]H[a]≥H[a|b]para cualquier variable aleatoria
).
a,b
2logn≤lognx+logny+lognzn2≤nxnynz