¿Cuál es el tamaño mínimo de un circuito que calcula PARIDAD?

Es un resultado clásico que cada circuito 2-Y-O-NO de ventilador que calcula PARIDAD a partir de las variables de entrada tiene un tamaño de al menos y esto es nítido. (Definimos el tamaño como el número de compuertas AND y OR). La prueba es por eliminación de compuerta y parece fallar si permitimos un abanico arbitrario. ¿Qué se sabe para este caso?$3(n-1)$

Específicamente, ¿alguien conoce un ejemplo cuando un fan-in más grande ayuda, es decir, necesitamos menos de puertas?$3(n-1)$

Actualización 18 de octubre. Marzio ha demostrado que para incluso 5 puertas son suficientes utilizando la forma CNF de PARIDAD. Esto implica un límite de ⌊ $n=3$$5$parangeneral. ¿Puedes hacerlo mejor?$\lfloor \frac 52 n \rfloor-2$$n$

Es posible calcular la paridad usando solo 2.33n + C puertas. La construcción es bastante simple y se da en este artículo.

http://link.springer.com/article/10.3103/S0027132215050083

Aquí hay un ejemplo de un circuito para la paridad de 6 variables usando solo 12 puertas (cada puerta es una puerta AND, un círculo cerca de la entrada de una puerta significa que esta entrada está invertida). Tenga en cuenta que un circuito para la paridad de 6 variables que se construye apilando bloques DNF (como en el límite superior de Marzio) consta de 13 puertas.

He comprobado que para n = 2,3,4,5,6 los tamaños de los circuitos óptimos son 3,5,8,10,12. Estos valores también son tamaños de circuitos que dan un límite superior de 2.33n. Todavía no sé si 2.33n es el tamaño del circuito óptimo para cada n. Aún más, no sé el tamaño del circuito óptimo para la paridad de 7 variables (hay dos valores posibles, 14 y 15).

Este límite inferior de eliminación de puerta no coincide con el límite superior de Marzio, pero es un comienzo.

$n\ge2$$2n-1$

$3$$n=2$$C$$n>2$

$x_i$$0$

$a$$a=x_1\land x_2\land\cdots$$x_1=0$$a=0$$C'$$x_2$$x_2$$b=\neg x_2\land c_1\land\dots\land c_r$$C'$$c_j$$x_2$$x_3,\dots,x_n$$x_1=0$$c_j$$x_2$$\neg x_2$$C'$$c_j$$1$$b$$\neg x_2$$a$

$2n-1$$\lfloor\frac52n\rfloor-2$

[1] Ingo Wegener, La complejidad de la función de paridad en circuitos de profundidad sin límites, sin límites , Theoretical Computer Science 85 (1991), no. 1, págs. 155-170. http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(91)90052-4

Expando mi comentario:

$k$$k-1$$I_i \geq 2$$g_i$

$3(n-1)$$(x_1,x_2,x_3)$

$5n/2$

Si hay un literal con 3 padres, podemos eliminar los 3 con una variable.

Si dos literales ocurren juntos en 2 puertas diferentes, juntos, podemos aplicar el argumento principal de la respuesta de Emil, eliminando nuevamente 3 puertas con una variable.