Cuando el polinomio GI implica polinomio (borde) de color GI?

Cruzado desde MO .

El isomorfismo del gráfico de color (borde) es GI que conserva los colores (de los bordes si está coloreado).

Hay varias reducciones utilizando transformaciones / gadgets de GI de color (borde) a GI. Para GI de color de borde, lo más simple es reemplazar el borde de color por un gadget de preservación de GI que codifique el color (subdividir el borde suficientes veces es el caso más simple). Para GI de color de vértice, adjunte algún gadget a un vértice.

GI Supongamos que es polinomio por alguna clase gráfico . $C$

Q1 ¿Para qué polinomio GI implica polinomio (borde) de color GI? $C$

Usando una reducción con aparatos podría hacer que los gráficos no miembros de . $C$

Por otro lado, ciertos gadgets / transformaciones pueden hacer que los gráficos sean miembros de alguna otra clase de GI polinomial.

Ejemplo de reducción de color de borde . $G \to G'$

Haga una camarilla de . Bordes de color en con y sin bordes con . Es la función de coloración que preserva y para recuperar de simplemente tome los bordes coloreados . es camarilla, cografía, gráfico de permutación y casi seguro en muchas otras clases agradables. Subdividir los bordes un número impar de veces (distinto para elimina los colores y hace que un gráfico bipartito perfecto, preservando el isomorfismo). $V(G)$ $E(G)$ $1$ $0$ $G$ $G$ $G'$ $1$ $G'$ $0,1$ $G'$

Quizás otro enfoque es tomar el gráfico lineal de y agregar vértices pendientes (universales) conectados a los vértices correspondientes a . $G'$ $E(G')$

Q2 ¿Hay buenos gadgets / transformaciones para construcciones similares?

Pensó en planarizar eligiendo un dibujo universal de la camarilla y reemplazando el cruce de bordes por dispositivos planos que conservan los colores, digamos para colores iguales y algo más para colores distintos. No sé si esto preserva el isomorfismo. $G'$ $C_4,C_6$

Otro enfoque posible podría ser el automorfismo conservando la coloración o subdividiendo cada borde de , use 3 colores para los vértices e intente reconocerse gráficos complementarios por automorfismo intercambiando y . $K_n$ ${0,1,2}$ $V(G),E(G),E(\overline{G})$ $E(G)$ $E(\overline{G})$

Q3 ¿El grupo de automorfismo de la subdivisión de manejable para calcular? $K_n$

Los pedidos después de los pocos términos iniciales son que es A052565 $12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dima sugiere que esto podría ser fácil para suficientemente grande y los términos iniciales son excepciones. $n$

Q4 Dada la subdivisión coloreada de vértice de para y su grupo de automorfismo donde los vértices de alto grado son de color , algunos grados son y el otro son , ¿cuál es la complejidad para encontrar el intercambio de automorfismo y ? $K_n$ $n > 4$ $0$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$

Se agregó el documento sobre el reconocimiento de Cayley Graphs p 86 afirma:

Dada una clase C de gráficos de Cayley, y dada una gráfica G de color de borde de n vértices ym bordes, estamos interesados en el problema de verificar si existe un isomorfismo φ preservando los colores de tal manera que G sea isomorfo por φ en un gráfico en C coloreado por los elementos de su grupo electrógeno. En este artículo, damos un algoritmo de tiempo O (m log n) para verificar si G es isomorfo en color a un gráfico de Cayley.

Esto parece cercano a la pregunta, ¿es relevante?

graph-theory graph-isomorphism automorphism

— joro
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Hay relación con las hipergrafías. El borde coloreado (u, v, c) podría tratarse como hiperedificación y existe una hipergrafía de reducción en el gráfico.

— joro

Respuestas:

P2: un buen ejemplo es el gadget de etiquetado de gráficos utilizado para demostrar que:

Teorema : GI color plano conectado a 3 GI plano conectado a 3 $\leq_T^L$

Ver Thomas Thierauf, Fabian Wagner: El problema del isomorfismo para gráficos planos conectados en 3 está en un espacio de registro inequívoco. Teoría de la Computación. Syst. 47 (3): 655-673 (2010)

El "dispositivo de etiquetado" utilizado conserva las restricciones de 3-conectividad y planaridad.

— Marzio De Biasi
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Gracias. ¿Qué hay de las otras preguntas?

— joro

@joro: Pensaré en Q3, Q4; para Q1 creo que, tal vez, es más interesante preguntar "¿Para qué C GI polinomial no implica (o se desconoce si implica ...) GI polinomial (borde) de color?" (porque para muchas clases de gráficos para las cuales GI tiene solución en tiempo polinómico, los etiquetados simples de vértices / bordes no eliminan los gráficos de )

C

$\mathcal{C}$

— Marzio De Biasi

Re Q1: si encuentra la pregunta interesante, pregúntela. O quizás edite esta pregunta con Q1.1 atribuido a usted mismo. Algunas reflexiones mientras tomas cerveza :). El gráfico de color (borde) me parece trivialmente una hipergrafía. HGI es tan fácil como GI a través de la reducción IIRC. Algunos casos de automorfismos restringidos son NP completos y otros son polinomios IIRC.

— joro

Se agregó un documento en la pregunta que podría ser relevante.

— joro

Respuesta parcial, no entiendo suficiente teoría de grupo, pero dos documentos parecen dar resultados parciales.

El IG para circulantes es polinomial. -Coloreado filo de GI GI circulantes es completa a través de la simple reducción . $G \to G'$

Haga una camarilla de y coloree un borde con iff y caso contrario. Para recuperar de simplemente tome los bordes coloreados . $V(G)$ $e \in E(G')$ $1$ $e \in E(G)$ $0$ $G$ $G'$ $1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$ donde el isomorfismo conserva el color del borde.

$G'$ es una camarilla de color de borde y, por lo tanto, circulante.

Este documento afirma:

Resumen. Construimos un algoritmo determinista que prueba si dos gráficos circulantes son isomorfos. El tiempo de ejecución es , donde es el número de vértices de cada gráfico. Nuestro algoritmo funciona para circulantes dirigidos, no dirigidos y de color de borde . $O(n^2 (\log n)^6 )$ $n$

La definición exacta de "color de borde" no me resulta clara.

El documento que prueba que el GI circulante es polinomial en una nota al pie de página en las afirmaciones p.1:

Por gráfico queremos decir un gráfico ordinario, un dígrafo o incluso un gráfico de color de borde

Preguntado en MO cuáles son las restricciones para los colorantes.

— joro
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