Complejidad del problema de intersección de coset

Dado el grupo de simetría y dos subgrupos y , ¿se mantiene ? G , H ≤ S n π ∈ S n G π ∩ H = $S_n$$G, H\leq S_n$$\pi\in S_n$$G\pi\cap H=\emptyset$

Hasta donde yo sé, el problema se conoce como el problema de intersección de coset. Me pregunto cuál es la complejidad. En particular, ¿se sabe que este problema está en coAM?

Además, si se limita a ser abeliano, ¿en qué se convierte la complejidad?$H$

Tiempo moderadamente exponencial y (para lo opuesto al problema como se indica: la intersección de Coset generalmente se considera que tiene una respuesta "sí" si las cosets se cruzan, opuesto a cómo se indica en el OQ).$\mathsf{coAM}$

Luks 1999 ( copia del autor libre ) dio un algoritmo de veces, mientras que Babai (ver su tesis de doctorado de 1983, también Babai-Kantor-Luks FOCS 1983 , y una versión de revista que aparecerá) dio un 2 ˜ O ( $2^{O(n)}$algoritmo de tiempo, que sigue siendo el más conocido hasta la fecha. Desde isomorfismo gráfico se reduce a intersección clase lateral-cuadrática tamaño, la mejora de este a2 ~ O (n 1 / 4 - ε )mejoraría el estado de la técnica para isomorfismo gráfico.$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

Considere el complemento, es decir, dónde se le pide que pruebe si . Como he señalado en esta respuesta , probando si g ∈ ⟨ g 1 , ... , g k ⟩ es decir en NC ⊆ P [1]. Entonces puedes adivinar g , h ∈ S n y probar en tiempo polinómico si g ∈ G , h ∈ H y g π = h . Esto produce un $G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$límite superior y, por lo tanto, su problema está en .$\text{coNP}$

Editar : se muestra en [2, Thm. 15] que el problema de intersección de coset está en . Como se señaló aquí , p. 7, el problema de intersección de coset no es NP-completo, a menos que la jerarquía de tiempo polinómica se colapse. Además, se observa aquí , p. 6, que Luks demostró que el problema está en P cuando H es solucionable, lo que incluye el caso de H abelian.$\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[1]  L. Babai, EM Luks y A. Seress. Grupos de permutación en Carolina del Norte . Proc. XIX simposio anual de ACM sobre teoría de la informática, pp. 409-420, 1987.

[2] L. Babai, S. Moran. Juegos Arthur-Merlin: un sistema de pruebas aleatorias y una jerarquía de clases de complejidad . Revista de Informática y Ciencias del Sistema, vol. 36, número 2, págs. 254-276, 1988.