Muchos problemas de gráficos duros se pueden resolver en tiempo polinómico en gráficos de ancho de árbol acotado . De hecho, los libros de texto suelen utilizar, por ejemplo, un conjunto independiente como ejemplo, que es un problema local . Aproximadamente, un problema local es un problema cuya solución se puede verificar examinando un pequeño vecindario de cada vértice.
Curiosamente, incluso los problemas (como el camino hamiltoniano) de naturaleza global todavía se pueden resolver de manera eficiente para gráficos de ancho de árbol acotado. Para tales problemas, los algoritmos de programación dinámica habituales deben realizar un seguimiento de todas las formas en que la solución puede atravesar el separador correspondiente de la descomposición del árbol (véase, por ejemplo, [1]). Se proporcionaron algoritmos aleatorios (basados en el llamado corte y conteo) en [1], y se desarrollaron algoritmos mejorados (incluso deterministas) en [2].
No sé si es justo decir eso, pero al menos algunos problemas globales se pueden resolver de manera eficiente para gráficos de ancho de árbol acotado. Entonces, ¿qué pasa con los problemas que siguen siendo difíciles en tales gráficos? Supongo que también son de naturaleza global, pero ¿qué más? ¿Qué separa estos problemas globales difíciles de los problemas globales que se pueden resolver de manera eficiente? Por ejemplo, ¿cómo y por qué los métodos conocidos no podrían proporcionarnos algoritmos eficientes para ellos?
Por ejemplo, uno podría considerar los siguientes problemas:
Extensión precoloring borde Dado un grafo con unos bordes de colores, decidir si este colorante se puede extender a una adecuada -Edge-coloración de la gráfica .k G
La extensión de precoloración de bordes (y su variante de color de borde de lista) es NP-complete para gráficos bipartitos en serie-paralelo [3] (tales gráficos tienen un ancho de árbol como máximo 2).
Coloración de borde de suma mínima Dado un gráfico , encuentre una coloración de borde tal que si y tienen un vértice común, entonces . El objetivo es minimizar , la suma de la coloración.χ : E → N e 1 e 2 χ ( e 1 ) ≠ χ ( e 2 ) E ′ χ ( E ) = ∑ e ∈ E χ ( e )
En otras palabras, tenemos que asignar números enteros positivos a los bordes de un gráfico de manera que los bordes adyacentes reciban números enteros diferentes y la suma de los números asignados sea mínima. Este problema es NP-hard para 2-árboles parciales [4] (es decir, gráficos de ancho de árbol como máximo 2).
Otros de estos problemas difíciles incluyen el problema de los caminos de borde disjunto, el problema del isomorfismo del subgrafo y el problema del ancho de banda (ver, por ejemplo, [5] y las referencias allí). Para problemas que siguen siendo difíciles incluso en los árboles, vea esta pregunta .