Clasificación de puertas reversibles

La red de Post , descrita por Emil Post en 1941, es básicamente un diagrama de inclusión completo de conjuntos de funciones booleanas que están cerradas en composición: por ejemplo, las funciones monótonas, las funciones lineales sobre GF (2) y todas las funciones. (Post no asumió que las constantes 0 y 1 estaban disponibles de forma gratuita, lo que hizo que su red fuera mucho más complicada de lo que sería de otra manera).

Mi pregunta es si alguna vez se ha publicado algo análogo para puertas reversibles clásicas , como las puertas Toffoli y Fredkin. Es decir, ¿qué clases de transformaciones reversibles en {0,1} ⁿ pueden ser generadas por alguna colección de puertas reversibles? Estas son las reglas: se le permite un número ilimitado de bits ancilla, algunos preestablecidos a 0 y otros preestablecidos a 1, siempre que todos los bits ancilla vuelvan a su configuración inicial una vez que su transformación de {0,1} ⁿ sea terminado. Además, un SWAP de 2 bits (es decir, un reetiquetado de sus índices) siempre está disponible de forma gratuita. Bajo estas reglas, mi alumno Luke Schaeffer y yo pudimos identificar los siguientes diez conjuntos de transformaciones:

1. El conjunto vacio
2. El conjunto generado por la puerta NOT
3. El conjunto generado por NOTNOT (es decir, NO compuertas aplicadas a 2 de los bits)
4. El conjunto generado por CNOT (es decir, la puerta NO controlada)
5. El conjunto generado por CNOTNOT (es decir, voltear los bits segundo y tercero si el primer bit es 1)
6. El conjunto generado por CNOTNOT y NOT
7. El conjunto generado por la puerta Fredkin (es decir, SWAP controlado)
8. El conjunto generado por Fredkin y CNOTNOT
9. El conjunto generado por Fredkin, CNOTNOT y NOT
10. El conjunto de todas las transformaciones.

Nos gustaría identificar a las familias restantes y luego demostrar que la clasificación está completa, pero antes de que pasemos mucho tiempo en ella, nos gustaría saber si alguien lo ha hecho antes.

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$Esta es una presentación de la mitad de una dualidad para transformaciones reversibles, análoga a la dualidad clon-coclone estándar (como aquí ). No responde la pregunta, pero muestra que todas las clases cerradas de tales funciones están determinadas por la preservación de las propiedades de una forma particular.

En contraste con el caso estándar, la principal complicación es que las permutaciones pueden contar (preservan la cardinalidad), por lo tanto, sus invariantes deben involucrar un poco de aritmética para dar cuenta de esto.

Permítanme comenzar con alguna terminología tentativa. Fijar un conjunto base finita $A$ . (En el caso clásico, Scott pregunta sobre $A=\{0,1\}$ . Partes de la discusión también funcionan para infinito $A$, pero no para la caracterización principal).

Un conjunto de permutaciones (o: transformaciones reversibles) es un subconjunto $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ , donde $\sym(X)$ significa el grupo de permutaciones de $X$ . Un clon de permutación es un conjunto de permutaciones $\cC$ tal que

1. Cada $\cC\cap\sym(A^n)$ está cerrado bajo composición.

2. Para cualquier $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ , la permutación $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ definida por$\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ es en$\cC$ .

3. Si $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ y $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ , la permutación$f\times g\in\sym(A^{n+m})$ definida por$(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ se encuentra en$\mathcal C$ .

Como es finito, 1 significa que C ∩ Sym ( A n ) es un subgrupo de Sym ( A n ) . El OP solo exige 2 para las transposiciones π , pero la versión aquí es claramente equivalente. La condición 3 es equivalente a lo que llamé introducción de variables ficticias en los comentarios anteriores.$A$$\cC\cap\sym(A^n)$$\sym(A^n)$$\pi$

Un clon maestro es un clon de permutación con asignación de ancillas:

4. Sea $f\in\sym(A^{n+m})$ , $g\in\sym(A^n)$ , y sea tal que f ( x , un ) = ( g ( x ) , una ) para todos x ∈ A n . Entonces f ∈ C implica g ∈ C .$a\in A^m$$f(x,a)=(g(x),a)$$x\in A^n$$f\in\cC$$g\in\cC$

Nuestro objetivo es caracterizar clones de permutación y clones maestros por ciertos invariantes. Permítanme motivar a este último con algunos ejemplos en :$A=\{0,1\}$

• El clon maestro de permutaciones que conserva el peso de Hamming (generado por la puerta de Fredkin). Si denota la inclusión de { 0 , 1 } en N , estas permutaciones se caracterizan por la propiedad y = f ( x $w$$\{0,1\}$$\N$ dondef∈Sym(An), y escribox=(x1,…,xn).

  $$y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$$ $f\in\sym(A^n)$$x=(x_1,\dots,x_n)$

• El clon maestro de permutaciones preservando el peso de Hamming modulo fijo , mencionado en los comentarios. Esto se caracteriza por la misma fórmula que antes, si interpretamos w como una función de { 0 , 1 } al grupo cíclico C ( m ) , y calculamos la suma allí.$m$$w$$\{0,1\}$$C(m)$

• El clon maestro de permutaciones afines , M ∈ G L ( n , F 2 ) , b ∈ F n 2 (generado por CNOT). Uno comprueba fácilmente (o sabe por el caso de Post) que una función de salida única F n 2 → F 2 es afín si conserva la relación x 1 ⊕ x 2 ⊕ x 3 ⊕ x 4 = $f(x)=Mx\oplus b$$M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$$b\in\mathbb F_2^n$$\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$$x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$. Por lo tanto, si definimos por w ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 ⊕ x 2 ⊕ x 3 ⊕ x 4 , an f ∈ Sym ( A n ) está en el clon iff y 1 = f ( x $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$

  $$w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$$ $f\in\sym(A^n)$ entonces estamos tratando con sumas en el monoide ( { 0 , 1 } , 0 , máximo ) . $$y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$$ $(\{0,1\},0,\max)$

En general, una función de peso es un mapeo , donde $w\colon A^k\to M$ , y M es un monoide conmutativo. Unafunción de peso maestroes uno que mapea todas las diagonales k -tuplas ( una , ... , un ) , un ∈ A , a los elementos invertibles de M . Deje W denotar la clase de todas las funciones de peso, y M W las funciones de peso maestro.$k\in\N$$M$$k$$(a,\dots,a)$$a\in A$$M$$\cI$$\cMI$

Si , y w : A k → M es una función de peso, decimos que w es una invariante de f , o (prestando sin pensar la terminología) que f es un polimorfismo de w , y escribimos f ∥ w , si la siguiente condición se cumple para todos ( x j i ) j = 1 .. k i = 1 .. n , ( y j $f\in\sym(A^n)$$w\colon A^k\to M$$w$$f$$f$$w$$f\pres w$ :$(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

Si , entonces n ∑ i = 1 w ( x i ) = n ∑ i = 1 w ( y i ) $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

$$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$$

Aquí, , x i = ( x 1 i , … , x k i ) , y de manera similar para y . En otras palabras, f ∥ w si f (o más bien su extensión paralela a ( A k ) n ) conserva la suma de w- ponderaciones de sus argumentos.$x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$$x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$$y$$f\pres w$$f$$(A^k)^n$$w$

La relación $\pres$ entre y W (o M W ) induce una conexión de Galois entre conjuntos de permutaciones C ⊆ P y clases de funciones de peso D ⊆ W , de la manera habitual: Pol ( D$\cP$$\cI$$\cMI$$\cC\subseteq\cP$$\cD\subseteq\cI$ y por lo tanto un isomorfismo dual entre las redes completas de conjuntos cerrados de permutaciones y las clases cerradas de funciones de peso (maestro), respectivamente. Para ver que estamos en el camino correcto, observamos que los conjuntos cerrados de permutaciones son clones:

$$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$$

Lema: si , entonces Pol ( D ) es un clon de permutación. Si D ⊆ M W , entonces Pol ( D ) es un clon maestro.$\cD\subseteq\cI$$\pol(\cD)$$\cD\subseteq\cMI$$\pol(\cD)$

Prueba: la primera afirmación es más o menos obvia. Para el segundo, sea , f , g , a ser como en la condición 4 para que f ∥ w , y sea ( x j i ) , ( y j i ) sea ​​como en la definición de g ∥ w . Poner ˉ x j = ( x j , a ) , ˉ y j = ( y j$w\in\cD$$f,g,a$$f\pres w$$(x_i^j),(y_i^j)$$g\pres w$$\bar x^j=(x^j,a)$ , y u i = w ( a i , … , a i ) . Entonces f ∥ w implica n ∑ i = 1 w ( x i ) + m ∑ i = 1 u i = n + m ∑ i = 1 w ( ˉ x i$\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$$u_i=w(a_i,\dots,a_i)$$f\pres w$ Sin embargo, u i son invertibles en M ya que w es una función de peso maestro, por lo tanto n ∑ i = 1 w ( x i ) = n ∑

$$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$$ $u_i$$M$$w$ $$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$$

Antes de continuar, necesitamos solucionar un problema: los monoides pueden ser enormes , por lo tanto, se puede sospechar que los invariantes de esta forma son tonterías abstractas inútiles.

Primero, dada una función de peso , podemos suponer que M es generada por w ( A k ) (y por inversos aditivos de imágenes de elementos diagonales en el caso maestro), ya que otros elementos de M no entran la imagen. En particular, M se genera finitamente . Segundo, por los resultados generales del álgebra universal, podemos escribir M como un producto subdireccionado M ⊆ ∏ i ∈ I M i , donde cada M $w\colon A^k\to M$$M$$w(A^k)$$M$$M$$M$

$$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$$ $M_i$es subdirectiblemente irreducible, y es un cociente de M a través de la i ª proyección del producto π i ; en particular, sigue siendo un monoide conmutativo generado finitamente. Como resultado de Mal'cev, fg monoides conmutativos subdirectivamente irreductibles (o semigrupos) son de hecho finitos . El mapeo w i = π i ∘ w : A k → M i es nuevamente una función de peso, maestra si w fue, y es fácil ver que Pol ( w ) = ⋂ i $M_i$$M$$i$$\pi_i$$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$$w$ Por lo tanto, podemos sin pérdida de generalidad restringir la atención a las funciones de pesow:Ak→M, dondeMes finita y subdirectivamente irreductible. DejeFWser la clase de tales funciones de peso, y ponga Inv ( C $$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$$ $w\colon A^k\to M$$M$$\mathcal{FW}$ Los ejemplos de monoides conmutativos finitamente irreductibles indirectamente son los grupos cíclicosC(pd)y los monoides de adición truncados({0,...,d},0,min{d,x+y}). El caso general es más complicado, sin embargo, se puede decir mucho sobre su estructura: se puede escribir cada uno de cierta manera como una unión disjunta de unaC( $$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$$ $C(p^d)$$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$ , y un nilsemigroup finito con algunas propiedades. VerGrilletpara más detalles.$C(p^d)$

Ahora estamos listos para el punto principal de esta publicación:

Teorema: los conjuntos cerrados de permutaciones en la conexión de Galois con funciones de peso finitas subdirectivamente irreductibles (maestras) son exactamente los clones de permutación (clones maestros, resp.).

Es decir, si , entonces el clon de permutación generado por C es Pol ( Inv ( C ) ) , y el clon maestro generado por C es Pol ( MInv ( C ) ) .$\cC\subseteq\cP$$\cC$$\pol(\inv(\cC))$$\cC$$\pol(\minv(\cC))$

Prueba: en vista de la discusión anterior, es suficiente mostrar que si es un clon de permutación, y f ∈ Sym ( A n ) ∖ C , hay una invariante w : A k → M de C tal que f ∦ w , y uno puede tomar w como una función de peso maestro si C es un clon maestro.$\cC$$f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$$w\colon A^k\to M$$\cC$$f\nparallel w$$w$$\cC$

Poner , y sea F el monoide libre generado por A k (es decir, palabras finitas sobre el alfabeto A k ). Definimos una relación ∼ en F por x 1 ⋯ x m ∼ y 1 ⋯ y $k=|A|^n$$F$$A^k$$A^k$$\sim$$F$ (Las palabras de longitud desigual nunca están relacionadas por∼.) Dado que cada C ∩Sym( A m )es un grupo,∼es una relación de equivalencia (de hecho, su restricción a palabras de longitudmes solo la relación de equivalencia de órbita de C ∩Sym( A m

$$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$$ $\sim$$\cC\cap\sym(A^m)$$\sim$$m$$\cC\cap\sym(A^m)$actuando de manera obvia en ). Además, ∼ es una congruencia monoide: si g ∈ C ∩ Sym ( A m ) y g ′ ∈ Sym ( A m ′ ) atestiguan que x 1 ⋯ x m ∼ y 1 ⋯ y m y x ′ 1 ⋯ x ′ m ′ ∼ y ′ 1 ⋯ y $A^{mk}$$\sim$$g\in\cC\cap\sym(A^m)$$g'\in\sym(A^{m'})$$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$ , respectivamente, luegog×g′∈C∩Sym(Am+m′)testigosx1⋯xmx′1$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$ .$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

Por lo tanto, podemos formar el cociente monoide . La permutación de intercambio es testigo de que x y ∼ y x para cada x , y ∈ A k ; es decir, los generadores de M conmutan, por lo tanto, M es conmutativo. Defina una función de peso w : A k → M como la inclusión natural de A k en F compuesta con el mapa del cociente.$M=F/{\sim}$$xy\sim yx$$x,y\in A^k$$M$$M$$w\colon A^k\to M$$A^k$$F$

$\cC\subseteq\pol(w)$$g\in\cC\cap\sym(A^m)$$y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

$$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$$ $\sim$$\pres$$f\pres w$$\{a^j:j=1,\dots,k\}$ be an enumeration of $A^n$, $b^j=f(a^j)$, and let $a_i,b_i\in A^k$ for $i=1,\dots,n$ be again as in the definition of $\pres$. Then $$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$$ hence by the definition of $\sim$, there exists $g\in\cC\cap\sym(A^n)$ such that $g(a^j)=b^j=f(a^j)$ for each $j$. However, since the $a^j$ exhaust $A^n$, this means $g=f$, i.e., $f\in\cC$, a contradiction. This completes the proof for permutation clones.

Even if $\cC$ is a master clone, $w$ needn’t be a master weight function, in fact, the diagonal elements are not even necessarily cancellative in $M$, hence we need to fix it. For each $c\in A$, let $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$, and define a new equivalence relation $\approx$ on $F$ by

$$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$$ Using the fact that elements of $A^k$ commute modulo $\sim$, it is easy to show that $\approx$ is again a congruence, hence we can form the monoid $M'=F/{\approx}$, and a weight function $w'\colon A^k\to M'$. Since $\approx$ extends $\sim$, $M'$ is commutative, and a quotient of $M$; in particular, $\cC\subseteq\pol(w')$. On the other hand, if $f\pres w'$, then the same argument as above together with the definition of $\approx$ would give a $g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$, and $c_1,\dots,c_r\in A$ such that $$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$$ for all $x\in A^n$, thus $f\in\cC$ as $\cC$ is a master clone, a contradiction.

The definition of $\approx$ ensures that

$$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$$ for all $x,y\in F$, and $c\in A$. It follows that the elements $c^*/{\approx}=w'(c^*)$ are cancellative in $M'$. It is an easy well-known fact that any commutative monoid can be embedded in another one where all cancellative elements become invertible. The composition of such an embedding with $w'$ is then a master weight function $w''$, and $\pol(w')=\pol(w'')$, hence $w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$. QED

---

EDIT: A generalization of the clone–coclone duality above is now written up in

[1] E. Jeřábek, Galois connection for multiple-output operations, preprint, 2016, arXiv:1612.04353 [math.LO].