Problema que está en P solo si P! = NP

¿Hay algún problema que se pueda resolver en el tiempo polinomial solo si P! = NP, y de otra manera se puede resolver en (digamos) tiempo? $O(2^n)$

Un ejemplo simple sería: Si P! = NP, calcule una prueba de primalidad para un número aleatorio de n bits, de lo contrario, evalúe una posición aleatoria en el peor de los casos en el ajedrez generalizado de un tablero nxn con 2n piezas en cada lado. Sin embargo, eso parece un poco hacky. ¿Hay más ejemplos naturales?

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— Phylliida
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No es exactamente lo que está preguntando, pero hay conexiones entre los límites inferiores del circuito (por ejemplo, SAT requiere circuitos de tamaño súper polinomial, lo que implica particularmente que P! = NP) y la aleatorización (por ejemplo, BPP = P, en particular algunos problemas nuevos serían se sabe que está en P). Pero estoy bastante seguro de que P! = NP no es una suposición suficientemente fuerte para tal resultado.

— usul

Si es demostrable en ZFC (problema abierto), entonces un algoritmo podría ser: en la entrada , si no codifica una prueba válida de entonces la salida simula la máquina de Turing en cinta vacía para pasos y salida si rechaza o no detiene, contrario.

P \neq N P

$P\neq NP$

x

$x$

x

$x$

P \neq N P

$P\neq NP$

0

$0$

x

$x$

2^{| x |}

$2^{|x|}$

0

$0$

1

$1$

— Marzio De Biasi

¿Qué tal si es demostrable en HoTT pero no en ZFC?

— Chad Brewbaker

@MarzioDeBiasi Eso es cierto, gracias, y realmente, como señaló Chad, podría usar cualquier conjunto de axiomas en lugar de ZFC, con la esperanza de usar uno consistente que pueda demostrar de manera significativa que P! = NP. Sin embargo, eso todavía se siente bastante extraño, quiero decir, como en mi ejemplo, podríamos reemplazar fácilmente el con cualquier otra complejidad de tiempo deseada (incluida, por ejemplo, resolver el problema de detención).

2^{[} | x |]

$2^[|x|]$

— Phylliida

Es posible que no haya ejemplos de aspecto natural del tipo que estoy solicitando, pero parece que las definiciones formales de "natural" (por ejemplo, alta probabilidad de resolver este problema dado un problema aleatorio en todos los problemas en EXP) pierden algo parte del significado, por lo que podría no ser tan significativo intentar probar eso, no estoy seguro.

— Phylliida

Si supiéramos un lenguaje computable específico tal que pudiéramos demostrar que , esto haría que equivalente a a oración. Si bien es , no se sabe que sea , y esto es completamente falso en el mundo relativizado (consulte https://cstheory.stackexchange.com/a / 16644 ). $L$ $L\in\mathrm P\iff\mathrm P\ne\mathrm{NP}$ $\mathrm P\ne\mathrm{NP}$ $\Sigma^0_2$ $\mathrm P\ne\mathrm{NP}$ $\Pi^0_2$ $\Sigma^0_2$

— Emil Jeřábek
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Relacionado: Comentario de Emil sobre MO

— Kaveh