Juego de contratación de secretaria

Esta es una extensión del problema clásico de la secretaria .

En el juego de contratación, tienes un conjunto de candidatos , y la habilidad de cada trabajador. $\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$

Wlog, asumimos que es el más experto, seguido de , etc. $c_1$ $c_2$

El orden en el que se entrevista a los candidatos se elige de manera uniforme al azar y es (obviamente) desconocido para los empleadores.

Ahora suponga que tiene un mercado con 2 empleadores potenciales. En cada ronda, un nuevo candidato está entrevistando a ambas compañías (llámelas ). Durante la entrevista, tanto como observan el orden parcial de todos los candidatos anteriores, incluido el entrevistado actual. Las firmas entonces (independientemente) deciden si contratar al solicitante de hoy. $A,B$ $A$ $B$

Por desgracia para , no puede competir económicamente con oferta 's, por lo tanto, si se extiende una oferta para un trabajador, obtiene preferencia. $B$ $A$ $A$

Además, una vez que un secretario firma, la compañía no puede entrevistar a ningún candidato adicional y el competidor se da cuenta de la firma .

El objetivo de cada empresa es contratar al candidato mejor capacitado (a diferencia del problema clásico, donde una sola empresa desea encontrar al mejor secretario), ya que se sabe que la empresa con el mejor secretario debería poder hacerse cargo del mercado.

¿Cuál es la estrategia óptima como la gran empresa ( )? $A$

¿Qué pasa con la empresa más pequeña ( )? $B$

Si ambas compañías juegan sus estrategias de equilibrio, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga el mejor trabajador? $B$

En un trabajo relacionado , Kalai et al. analiza la versión simétrica de este problema, donde ambas compañías tienen el mismo poder de atraer candidatos.

En este contexto, el equilibrio simple (simétrico) es que contrata a una secretaria si la probabilidad de que sea mejor que los candidatos restantes es al menos del 50%.

¿Cómo cambia este resultado en nuestro entorno?

ds.algorithms gt.game-theory

— RB
fuente

Para la compañía / la firma / corporación gigante / "big pharma" / "THE MAN", la estrategia no cambia desde la versión simétrica: $A$

Considere una ronda donde la probabilidad de ver solo candidatos menores a partir de entonces es . Si la empresa retiene al candidato, entonces tiene la posibilidad de ganar . Si no retiene al candidato, entonces la empresa puede contratar al candidato y la empresa tiene la posibilidad de ganar . Entonces, obviamente, la compañía contrataría (y la compañía intentaría contratar) en esta situación. $> .5$ $A$ $> .5$ $A$ $B$ $A$ $< .5$ $A$ $B$

Para un candidato con probabilidades ganadoras de exactamente , puede o no elegir contratar, pero elegiría contratar porque nunca puede obtener probabilidades mejores que . $.5$ $A$ $B$ $B$ $.5$

Si la empresa contratara antes de ver a un candidato con posibilidades de ganar , entonces las probabilidades de que exista un futuro candidato mejor (y, por lo tanto, ganador) serían . Por lo tanto, no contratará hasta que vea un candidato con probabilidades de ganar . $A$ $>= .5$ $B$ $> .5$ $A$ $>= .5$

Por lo tanto, estrategia de 's es idéntico al caso simétrico: contratar al primer candidato que los rendimientos de las probabilidades de ganar . $A$ $> .5$

$B$ 'estrategia s, a continuación, se forma con ' estrategia de s en mente. Obviamente, si contrata (en o) antes que , entonces la estrategia de es contratar al próximo candidato que sea mejor que , si lo hay. Además, si un candidato llega con probabilidades de ganar , debería intentar contratar, aunque también intente contratar (y obligar a a seguir buscando). $A$ $A$ $B$ $B$ $A$ $> .5$ $B$ $A$ $B$

La única pregunta que queda es: ¿es beneficioso para contratar cuando las probabilidades de ganar son . La respuesta es sí. $B$ $<= .5$

Intuitivamente, digamos que hay una ronda donde las probabilidades de ganar con el candidato son . Además, es "probable que exista" (explicado más adelante) un futuro candidato con probabilidades de ganar . Entonces sería beneficioso para elegir al candidato anterior. $.5 - \epsilon$ $> .5 + \epsilon$ $B$

Deje que ser el candidato de entrevistas en la ronda para todos . $d_r$ $r$ $1 <= r <= N$

Oficialmente, la estrategia de es: "contratar a si hacerlo genera mejores probabilidades de ganar que si no". Lo siguiente es cómo calculamos tal decisión. $B$ $d_r$

Deje sea la probabilidad de ganar después de entrevistar y contratar dado es el ª mejor candidato entrevistado. Entonces: $p_{r,i}$ $d_r$ $d_r$ $i$

$p_{r,i} =$ probabilidad de que para $d_s < d_r$ $s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

En particular, es fácilmente computable con precisión constante. $p_{r,i}$

Sea la probabilidad de que gane dado que ninguna de las compañías contrató en las rondas a . $P_{B,r}$ $B$ $1$ $r-1$

Entonces contrataría a si la probabilidad de ganar después de contratar a es mejor que . $B$ $d_r$ $d_r$ $P_{B,r+1}$

Tenga en cuenta que , porque si es la última ronda, entonces está garantizado para contratar y no va a contratar a nadie y suelto. $P_{B,N} = 0$ $A$ $B$

Luego, en la ronda , se garantiza que intentará contratar y tendrá éxito a menos que también contrate . Entonces: $N-1$ $B$ $A$

P_{B, N - 1} = \sum_{i = 1}^{N - 1} \frac{1}{N - 1} {\begin{array}{lcl} p_{N - 1, i} & : & p_{N - 1, i} < .5 \\ 1 - p_{N - 1, i} & : & p_{N - 1, i} >= .5 \end{array}

$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$

Lo que lleva a la función recursiva:

P_{B, r} = \sum_{i = 1}^{r} \frac{1}{r} {\begin{array}{lcl} 1 - p_{r, i} & : & p_{r, i} >= .5 \\ p_{r, i} & : & P_{B, r + 1} < p_{r, i} < .5 \\ P_{B, r + 1} & : & else \end{array}

$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$

Es bastante obvio que se puede calcular con una precisión constante en el tiempo polinómico. La pregunta final es: "¿cuál es la probabilidad de que gane?" La respuesta es y varía con . $P_{B,r}$ $B$ $P_{B,1}$ $N$

En cuanto a la pregunta de con qué frecuencia gana ? No he calculado exactamente, pero mirando de 1 a 100, parece que a medida que crece, la tasa de ganancia de aproxima a .4 más o menos. Este resultado puede estar apagado ya que acabo de hacer un script rápido de Python para verificar y no presté mucha atención a los errores de redondeo con números flotantes. Es muy posible que el límite real real sea .5. $B$ $N$ $N$ $B$

— bbejot
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