Descomposición de gráficos para combinar funciones "locales" de etiquetado de vértices

Supongamos que queremos encontrar o

\sum_{x} \prod_{i j \in E} f (x_{i}, x_{j})

$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

max_{x} \prod_{i j \in E} f (x_{i}, x_{j})

$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

Donde Max o la suma se toma sobre todos los marcajes de $V$ , el producto se toma sobre todos los bordes $E$ para un gráfico $G=\{V,E\}$ y $f$ es una función arbitraria. Esta cantidad es fácil de encontrar para gráficos de ancho de árbol acotado y, en general, NP-hard para gráficos planos. El número de coloraciones adecuadas, el conjunto independiente máximo y el número de subgrafías eulerianas son ejemplos especiales del problema anterior. Estoy interesado en esquemas de aproximación de tiempo polinomial para problemas de este tipo, especialmente para gráficos planos. ¿Qué descomposiciones gráficas serían útiles?

Edición 11/1 : Como ejemplo, me pregunto acerca de las descomposiciones que podrían ser análogas a las expansiones de agrupación de la física estadística (es decir, la expansión de Mayer). Cuando $f$ representa interacciones débiles, tales expansiones convergen, lo que significa que podría alcanzar una precisión dada con $k$ términos de la expansión independientemente del tamaño del gráfico. ¿No implicaría esto la existencia de PTAS para la cantidad?

Actualización 02/11/2011

Las expansiones de alta temperatura reescriben la función de partición $Z$ como una suma de términos donde los términos de orden superior dependen de interacciones de orden superior. Cuando las "correlaciones decaen", los términos de alto orden decaen lo suficientemente rápido como para que casi toda la masa de $Z$ esté contenida en un número finito de términos de bajo orden.

Por ejemplo, para el modelo Ising, considere la siguiente expresión de su función de partición

Z = \sum_{x \in X} \exp J \sum_{i j \in E} x_{i} x_{j} = c \sum_{A \in C} (\tanh J)^{| A |}

$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$

Aquí $c$ una constante simple, $C$ es un conjunto de subgrafías eulerianas de nuestro gráfico, $|A|$ es el número de aristas en subgrafo $A$ .

Hemos reescrito la función de partición como una suma sobre subgrafos donde cada término en la suma se penaliza exponencialmente por el tamaño del subgrafo. Ahora agrupa los términos con el mismo exponente y aproxima $Z$ tomando los primeros $k$ términos. Cuando el número de subgrafías eulerianas de tamaño $p$ no crece demasiado rápido, el error de nuestra aproximación decae exponencialmente con $k$ .

El conteo aproximado es difícil en general, pero fácil para instancias de "decadencia de correlación". Por ejemplo, en el caso del modelo de Ising, hay una disminución de la correlación cuando $f(k)$ crece más lentamente que $(\tanh J)^k$ donde $f(k)$ es el número de subgráficos Eulerianos de tamaño $k$ . Creo que en tal caso, la expansión de alta temperatura truncada da un PTAS para $Z$

Otro ejemplo es contar conjuntos independientes ponderados: es manejable para cualquier gráfico si el peso es lo suficientemente bajo porque puede hacer que el problema muestre una disminución de la correlación. La cantidad se aproxima contando conjuntos independientes en regiones de tamaño acotado. Creo que el resultado 'STOC'06 de Dror Weitz implica que el conteo de conjuntos independientes no ponderados es posible para cualquier gráfico con un grado máximo 4.

He encontrado dos familias de descomposiciones "locales": gráficos de clúster Bethe y gráficos de región de Kikuchi. Básicamente, la descomposición le dice que multiplique los recuentos en regiones y que los divida por recuentos en superposiciones de regiones. El método del gráfico de región de Kikuchi mejora esto al tener en cuenta que las superposiciones de regiones pueden solaparse, utilizando el tipo de corrección de "inclusión-exclusión".

El enfoque alternativo es descomponer el problema en partes manejables globales, como en "Inferencia Variacional sobre Espacios Combinatorios". Sin embargo, las descomposiciones locales le permiten controlar la calidad de la aproximación seleccionando el tamaño de la región

— Yaroslav Bulatov
fuente

Lo que quiero decir es demasiado largo para (pero realmente debería ser) un comentario.

Si estoy leyendo la pregunta correctamente, desea un FPRAS (esquema de aproximación aleatoria totalmente polinomial) para cualquiera de las cantidades anteriores, cada una de las cuales incluye varios problemas # P-completos como casos especiales. En particular, desea un FPRAS general en el caso de gráficos planos, mediante el uso de la expansión de clúster.

Dudo que esto sea posible debido al hecho de que la integridad de NP del problema de existencia (por ejemplo, coloración adecuada) implica que el problema de conteo correspondiente (por ejemplo, número de coloraciones adecuadas) está completo en #P con respecto a la reducibilidad AP (aproximación- conservación). Ver Dyer, Goldberg, Greenhill y Jerrum, Algorithmica (2004) 38: 471-500.

Pero tal vez he leído mal la pregunta.

(En realidad, ¿podría explicar a los no iniciados el significado de las expansiones de alta temperatura?)

— RJK
fuente

He respondido a mi pregunta

— Yaroslav Bulatov

@Yaroslav: ¡Gracias por la extensa aclaración! Por cierto, por "región" quieres decir "subconjunto de vértices"? (Esto es lo que veo cuando miro Heske, JAIR 26 (2006), 153-190.) De hecho, parece que buscas FPRAS específicos (es decir, con opciones particulares de f) para clases específicas (como grado en la mayoría 4) de gráficos planos que usan lo que usted denomina "descomposición de gráficos" (que es un término muy sobrecargado, para ser justos). ¿Es eso correcto?

— RJK

Sí, las regiones son subconjuntos de vértices, y estoy interesado en PTAS para clases de gráficos "manejables". Por cierto, aquí hay un ejemplo elaborado de una descomposición cúmulo de contar conjuntos independientes que creo que se puede convertir en PTAS para casos de correlación con caries - yaroslavvb.blogspot.com/2011/02/...

— Yaroslav Bulatov