Cómo encontrar problemas de investigación interesantes

A pesar de varios años de clases, todavía estoy perdido cuando se trata de elegir un tema de investigación. He estado revisando documentos de diferentes áreas y hablado con profesores, y estoy empezando a pensar que este es el enfoque equivocado.

He leído que ayuda a encontrar un problema interesante (no importa el área) y luego trabajar en eso. Los libros de texto mencionan los famosos sin resolver, pero no me gustaría abordarlos directamente. Los trabajos de investigación solo mencionaron resultados positivos, no intentos fallidos.

¿Cómo puedo encontrar problemas de investigación interesantes? ¿Cómo encuentras interesantes problemas de investigación? ¿Hay una lista en algún lugar?

¿Cómo decide si vale la pena trabajar en un problema en particular?

Estoy totalmente en desacuerdo con el enfoque "encontrar una lista de problemas abiertos". Por lo general, los problemas abiertos son bastante difíciles de avanzar, y no estoy muy convencido de que se realice una buena investigación abordando un problema difícil pero poco interesante en un área técnica.

Dicho esto, por supuesto, resolver un problema abierto es realmente bueno para las credenciales académicas. Pero eso no es lo que estás preguntando.

La investigación es un proceso diseñado para generar comprensión a un alto nivel. Resolver problemas técnicos es un medio para ese fin: a menudo el problema y su solución iluminan la estructura o el comportamiento de algún fenómeno científico (una estructura matemática, una práctica del lenguaje de programación, etc.).

Entonces, mi primera sugerencia es: encuentra un problema que quieras entender. La investigación es fundamentalmente sobre la confusión. ¿Hay algunos temas específicos que le interesen, pero que siente que tiene una comprensión fundamentalmente incompleta o que parecen técnicamente claros, pero que carece de una buena intuición? Esos son buenos puntos de partida. ¡Sigue los consejos de Terry Tao y hazte preguntas tontas! Una gran cantidad de buena investigación surge de estas consideraciones. De hecho, toda esta página contiene muchos buenos consejos. Tenga en cuenta que si está viendo un problema o campo bien explorado, es poco probable que obtenga información original de inmediato, por lo que es importante leer la literatura al mismo tiempo que sus propias exploraciones.

En segundo lugar, no descarte la comunicación con sus profesores. Pregúnteles sobre su propia investigación, no necesariamente sobre los proyectos que quieren darle. ¡Participe en una conversación! Esto le ayuda a descubrir lo que le interesa, pero también cómo se ve el panorama de la investigación en su campo. La investigación no ocurre en el vacío, por lo que debe hablar con sus compañeros de estudios, doctores en su departamento, asistir a charlas y talleres en su universidad, etc. Verá que estar inmerso en un entorno de investigación lo ayuda a investigar mucho más que encontrar una lista o un problema específico y encerrarse en su oficina.

Finalmente, sugeriría trabajar en algo pequeño . La investigación es de abajo hacia arriba mucho más de lo que es de arriba hacia abajo, y es raro que una tarea muy simple (escribir una prueba o un programa) resulte ser tan simple como lo esperaba. Hacer varios proyectos pequeños que no sean a escala de investigación (expandir la tarea, escribir una explicación de algo que aprendiste) a menudo se convierte en material genuino de nivel de investigación. Es común tratar de "ir a lo grande" al principio, pero así es como funciona nuestro cerebro.

David Hilbert es un reconocido matemático. Presentó una lista de 23 problemas no resueltos en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900.
Solo quiero citar parte de la entrevista de Yuri Manin titulada "Las buenas pruebas son pruebas que nos hacen más sabios" sobre Hilbert y su lista:

El Congreso Internacional de este año es el último ICM en este siglo. ¿Crees que todavía es posible un Hilbert? ¿Hay algún problema contemporáneo correspondiente a los problemas de Hilbert?
En realidad, no creo que la lista de Hilbert haya tenido un gran papel en las matemáticas de este siglo. Ciertamente fue psicológicamente importante para muchos matemáticos. Por ejemplo, Arnold dijo que mientras era un joven estudiante graduado había copiado la lista de problemas de Hilbert en su cuaderno y siempre la llevaba consigo. Pero cuando Gelfand se enteró de eso, en realidad se burló de Arnold al respecto. Arnold vio la resolución de problemas como una parte esencial de los grandes logros matemáticos. Para mi es diferente. Veo el proceso de creaciones matemáticas como una especie de reconocimiento de un patrón preexistente. Cuando estudias algo - topología, probabilidad, teoría de números, lo que sea - primero adquieres una visión general del vasto territorio, luego te enfocas en una parte de él. Más tarde, intentas reconocer "¿qué hay allí?" Y "¿qué ya han visto otras personas?
¿El énfasis en la resolución de problemas es una especie de visión romántica: un gran héroe que conquista la montaña?
Sí, de alguna manera una especie de visión deportiva. No digo que sea irrelevante. Es muy importante para los jóvenes, como un dispositivo psicológico para atraer a los jóvenes a crear algún reconocimiento social por sus grandes logros. Un buen problema es la encarnación de una visión de una gran mente matemática, que no podía ver los caminos que conducen a cierta altura, pero que reconoció que hay una montaña. Pero no es una forma de ver las matemáticas, ni la forma de presentar las matemáticas al público en general. Y no es la esencia. Especialmente cuando tales problemas se incluyen en la lista, es algo así como una lista de capitales de los grandes países del mundo: transmite la mínima información posible. En realidad, no creo que Hilbert pensara que esta es la forma de organizar las matemáticas.

Esta es, en última instancia, una pregunta subjetiva y personal y "a largo plazo", qué problemas se consideran importantes hasta cierto punto dentro y fuera de la moda científica, pero puede haber algunas pautas comunes aproximadas con las que muchos estarían de acuerdo, y también los mejores expertos tienen consideró la pregunta. los problemas son bastante ubicuos y es más un proceso de reducirlos.

• # 1 en la lista es casi siempre, ¡habla con tu asesor! es parte de su trabajo y si él / ella no presenta ninguna idea, quizás esa no sea una gran señal y considere que podría beneficiarse o necesitar otra.

• ¿En qué están trabajando muchas personas en tu universidad? cada universidad generalmente tiene especializaciones particulares y habrá entusiasmo o incluso entusiasmo por áreas / problemas particulares.

• mire los premios en el campo para ver qué áreas estudian, o premios. en TCS su premio Turing , el premio Godel , el premio Nevanlinna , los premios Millenium . obviamente, estos son para trabajos muy importantes / innovadores, pero por naturaleza abarcan grandes áreas donde hay trabajo incremental.

• Los principales blogs de TCS son una gran fuente para tomar el pulso del interés de la comunidad en varios problemas.

También para responder a esta pregunta puede ser perspicaz "volver a las raíces" en el siguiente sentido. Uno de los maestros legendarios en esta área entre el mejor historial posible es Hilbert el matemático, y muchas de sus ideas fundamentales sobre la selección de problemas se aplican y vale la pena revisarlas / estudiarlas. Muchos de sus problemas abiertos que impulsaron las matemáticas a comienzos del siglo XX resultaron tener conexiones sorprendentes / profundas con la teoría algorítmica, por ejemplo, la indecidibilidad, por ejemplo, el problema de Godel, el problema de Halting y el décimo problema fundamental . Sus puntos de vista son resumidos por Lagarias, sección 9 al evaluar la conjetura de Collatz como un "buen problema":

Es difícil y a menudo imposible juzgar el valor de un problema correctamente de antemano; para el premio final depende de la ganancia que la ciencia obtiene del problema. Sin embargo, podemos preguntarnos si hay criterios generales que marcan un buen problema matemático. Un viejo matemático francés dijo: "Una teoría matemática no debe considerarse completa hasta que la haya dejado tan clara que pueda explicársela al primer hombre que se encuentre en la calle". Esta claridad y facilidad de comprensión, aquí insistió en para una teoría matemática, aún debería exigir más un problema matemático para que sea perfecto; porque lo que es claro y fácil de comprender atrae, lo complicado nos repele. Además, un problema matemático debería ser difícil para atraernos, pero no completamente inaccesible, no sea que se burle de nuestros esfuerzos. Debería ser para nosotros una publicación de guía sobre los caminos confusos hacia las verdades ocultas y, en última instancia, un recordatorio de nuestro placer en su solución exitosa.

Lagarias resume estos elementos como:

1. ¿Está claro el problema, y ​​simplemente el problema declarado?
2. ¿Es un problema difícil?
3. ¿Parece accesible y no "burlarse de nuestros esfuerzos para resolverlo"?

desafortunadamente, muchos problemas abiertos fallan en el n. ° 3, pero como se mencionó, siempre hay problemas y relajaciones cercanas que se consideran más accesibles, e incluso solo formular estas relajaciones puede considerarse parte de una investigación válida.