Algoritmos cuánticos basados ​​en transformaciones distintas de las transformadas de Fourier

En Computación cuántica e Información cuántica de Nielsen y Chuang, dicen que muchos de los algoritmos basados ​​en transformaciones cuánticas de Fourier se basan en la propiedad Coset Invariance de las transformadas de Fourier y sugieren que las propiedades de invariancia de otras transformaciones podrían generar nuevos algoritmos.

¿Ha habido alguna investigación fructífera en otras transformaciones?

Me gustaría agregar algunas referencias más al comentario de Scott:

De hecho, las transformaciones de Clebsch-Gordan (que se pueden considerar transformaciones cuánticas cuánticas de múltiples registros) son una herramienta útil en el diseño de algoritmos cuánticos para problemas de subgrupos ocultos (HSP) no abelianos.

• Las transformaciones de Clebsch-Gordan fueron utilizadas por Greg Kuperberg y Oded Regev para resolver el HSP diédrico en tiempo subexponencial (pero superpolinomial). Estos algoritmos cuánticos no son eficientes, pero tienen una mejor complejidad de consulta que los algoritmos clásicos.

• Dave Bacon también utilizó transformaciones de Clebsch-Gordan para resolver el problema de subgrupos ocultos (HSP) sobre el grupo de Heisenberg en tiempo polinómico. Puedo recomendar ese papel porque es bastante claro.$\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

También escribo para agregar que no debemos olvidar que tanto las transformadas cuánticas de Fourier como las transformaciones de Clebsch-Gordan no siempre son indispensables, incluso si pueden ser muy útiles.

• En el algoritmo de Shor (o incluso en la estimación de fase cuántica), las transformadas de Fourier se pueden reemplazar con las pruebas de Hadamard , por lo tanto, solo se utilizan puertas Hadamard en lugar de las transformadas de Fourier: este truco se debe a Kitaev y puedes leer sobre esto aquí .

• Existe otro algoritmo eficiente para HSP sobre , de Bacon, Childs, Van Dam, que no utiliza transformaciones de Clebsch-Gordan. En cambio, el algoritmo usa un cierto tipo de POVM potente conocido como la Medición Bastante Buena.$\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

Por supuesto, esta lista es probablemente incompleta. Espero que alguien señale otros resultados que aún no se han mencionado.

No estoy seguro de si esto está directamente relacionado con su pregunta, pero leerlo me hizo pensar en un artículo de Peter Høyer que leí hace algunos años. En él, muestra cómo los algoritmos cuánticos más populares, como los de Grover o Shor, siguen el mismo patrón de aplicación de lo que él llama "operadores conjugados" y construye nuevos algoritmos basados ​​también en ese mismo patrón.

Como dije, han pasado algunos años desde que lo leí, por lo que mi descripción es un poco descuidada, pero aquí está el enlace en caso de que desee consultarlo.

http://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.59.3280