Problemas en la mañana o en la mañana

¿Cuáles son los ejemplos de problemas conocidos en (resp. ) que no se sabe que están en ni en ? $\mathsf{AM}$ $\mathsf{MA}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{BPP}$

Para , conozco los siguientes dos ejemplos: $\mathsf{AM}$

No isomorfismo gráfico: dados dos gráficos etiquetados y , ¿son el mismo gráfico hasta la permutación de los vértices? $G$ $H$
Protocolo de límite inferior: se le proporciona un conjunto tal manera que sabe queopara algunos , y tal que (es decir, dado , verificando si puede resolverse en ), y tienes que decidir si . $S\subset\{0,1\}^m$ $|S|\le\alpha|U|$ $|S|\ge 4\alpha|U|$ $0\le\alpha\le 1$ $S\in\mathsf{AM}$ $y\in U$ $y\in S$ $\mathsf{AM}$ $|S\ge 4\alpha|U|$

Para $\mathsf{MA}$ , no conozco ningún ejemplo.

Mi pregunta refinada: ¿Conocemos otros problemas en $\mathsf{AM}$ o $\mathsf{MA}$ , que no se sabe que están en $\mathsf{NP}\cup\mathsf{BPP}$ ?

No me interesan los problemas para los cuales la única prueba de que pertenecen a es mediante el uso de uno de estos dos protocolos. $\mathsf{AM}$

Editar: Mi principal motivación es poder dar ejemplos de algoritmos o para explicar cuáles son estas clases. $\mathsf{AM}$ $\mathsf{MA}$

cc.complexity-theory complexity-classes

— Bruno
fuente

Esto probablemente no va a ayudar con su motivación (y, por lo tanto, no lo estoy agregando como respuesta), pero el problema

-SAT cuántico estocástico está MA completo. Es decir: ¿un hamiltoniano estocástico con términos

locales tiene un estado fundamental libre de frustración? Libre de frustración significa que todos los términos están en su estado de energía más bajo; -local significa que cada término del hamiltoniano contiene solo

qubits; estoquástico significa que todas las entradas fuera de la diagonal de la matriz de Hamilton no son positivas. Ver este artículo .

k

$k$

k

$k$ $k$

k

$k$

— Peter Shor

Gracias Peter! Creo que esta es una respuesta perfectamente válida a pesar de que quizás no sea el mejor ejemplo para dar como ayuda a la intuición ... ¡Pero no estaba al tanto de ningún problema en

(no se sabe que esté en

M A

$\mathsf{MA}$

N P

$\mathsf{NP}$

— Bruno

Es difícil encontrar problemas naturales en MA. Aquí hay una entrada de blog de 2002 de Lance Fortnow, donde dice que se sabe que no hay problemas naturales en MA que no estén en NP

BPP. Y ese todavía era el caso en 2006, cuando Bravyi et al. mostró que el

-SAT estocástico estaba en él. (Y en caso de que te lo estés preguntando, de hecho es un problema natural para la computación cuántica). No creo que nada haya cambiado en los últimos ocho años, pero podría haber pasado por alto cosas fácilmente.

\cup

$\cup$

k

$k$

— Peter Shor

¿Aceptaría respuestas que están en

que no se sabe que están en

? Mi sensación es que a menudo tales problemas tienen buenos ejemplos de

- o

P r o m i s e M A

$\mathsf{PromiseMA}$

P r o m i s e A M

$\mathsf{PromiseAM}$

P r o m i s e N P \cup P r o m i s e B P P

$\mathsf{PromiseNP} \cup \mathsf{PromiseBPP}$

M A

$\mathsf{MA}$

A M

$\mathsf{AM}$ algoritmos de estilo, solo están garantizados para que funcionen cuando la promesa se cumple ... (Pero si esto es para un curso formal, este puede no ser un buen tipo de ejemplo, ya que los ejemplos de promesa a menudo sirven para confundir a los principiantes ...)

— Joshua Grochow

@ Joshua: si tienes algún problema natural en PromiseMA, me gustaría mucho verlo. Creo que el OP también lo haría, ya que su problema de protocolo de límite inferior para AM es en realidad un problema prometedor. Probablemente también debería tener en cuenta que el problema estocástico de

-SAT también es un problema prometedor (prometemos que hay un estado fundamental libre de frustración o que el estado fundamental tiene 1 / poli (

) energía más alta que un estado libre de frustración estado fundamental tendría).

k

$k$

n

$n$

— Peter Shor

[Estoy publicando esto como respuesta a pesar de estar en porque a) exhibe un tipo diferente de algoritmo de estilo , yb) @PeterShor preguntó y fue demasiado largo para un comentario .] $\mathsf{PromiseMA}$ $\mathsf{MA}$

Sobre cualquier campo finito , el siguiente problema está en : $\mathbb{F}$ $\mathsf{PromiseMA}$

Entrada : Un conjunto de -polynomials $\mathbb{F}$ $F_1(\vec{x}), \dotsc, F_m(\vec{x})$

Decida : ¿No hay solución para sobre el cierre algebraico $F_1(\vec{x}) = \dotsb = F_m(\vec{x}) = 0$ $\overline{\mathbb{F}}$

Promesa : O hay una solución sobre , o hay un circuito algebraico polietileno tal que y (idénticamente como polinomios) $\overline{\mathbb{F}}$ $\mathbb{F}$ $C(\vec{x}, y_1, \dotsc, y_m)$ $C(\vec{x}, \vec{0}) = 0$ $C(\vec{x}, \vec{F}(\vec{x})) = 1$

El algoritmo de estilo adivina el circuito y, a continuación, verifica las dos condiciones utilizando pruebas de identidad polinomio, que está en por Schwarz-Zippell-DeMillo-Lipton. $\mathsf{MA}$ $C$ $\mathsf{coRP}$

Tenga en cuenta que, sin la restricción del tamaño de polietileno, Nullstellensatz de Hilbert garantiza que no hay solución si y solo si hay algún circuito satisfaga las dos condiciones anteriores. (Por otro lado, suponiendo que , existen sistemas de ecuaciones que provienen de algebrizaciones de 3SAT para las cuales se viola la promesa de tamaño polivinílico anterior). $C$ $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{coMA}$

(Esta es la base de un sistema de prueba algebraico de un trabajo conjunto reciente con Toniann Pitassi , pero para los propósitos de esta respuesta, ideas similares se remontan a un documento anterior de Pitassi, así como a su charla ICM de 1998 , y al llamado Nullstellensatz y sistemas de prueba de cálculo polinomial .)

— Joshua Grochow
fuente

Me resulta intrigante que este resultado esté muy cerca (en espíritu) de un resultado de Koiran que muestra que decidir si un grupo de polinomios enteros tiene una raíz común en

está en

, aunque con una prueba aparentemente no relacionada. (El resultado de Koiran se basa en el protocolo de límite inferior establecido de Goldwasser-Sipser). Al intentar encontrar un ejemplo de problema en

, estaba jugando con problemas similares: Básicamente, quería usar el lema DLSZ en algún momento.

C

$\mathbb C$

A M

$\mathsf{AM}$

M A

$\mathsf{MA}$

— Bruno

@Bruno: Encontré lo mismo intrigante :). De hecho, también obtenemos un resultado similar al anterior sobre los campos de característica cero, pero con

lugar de

, y la prueba utiliza el resultado de Koiran en negro -caja como una subrutina (ver Proposición 2.4 en el documento conjunto con Pitassi).

P r o m i s e A M

$\mathsf{PromiseAM}$

P r o m i s e M A

$\mathsf{PromiseMA}$

— Joshua Grochow