¿Cuál es el valor de este "juego" (reequilibrio de contadores)?

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Esta pregunta se publicó en CS.SE hace dos semanas , pero no obtuvo una respuesta satisfactoria.

Supongamos que tienes el siguiente juego:

Hay infinitos contadores , todos inicializados en 0. $\{c_1,c_2,\ldots\}$

En cada paso, elige un contador y aumenta su valor en 1. $c_i$

Desafortunadamente, cada pasos, cada contador que tiene un valor positivo se reduce en 1. $T$

Además, los valores de los contadores están delimitados por , por lo que no puede incrementar un contador más. $M$

1. Dado tantos pasos como desee, ¿pueden alcanzar muchos contadores de valor positivo?

2. ¿Cuántos contadores valorados positivamente son accesibles después de pasos? $T\cdot M - 1$

Para la pregunta (1), aquí hay una acumulación detallada de contadores positivos: $\approx T\log(M)$

Si bien tiene menos de contadores en el valor :
- Incrementar el contador de índice mínimo cuyo valor es estrictamente menor que . $M$

(Esto tiene que converger ya que la suma de los contadores está destinada a aumentar cada pasos). $T$

Dejar que . $r = T$
Mientras que ( ) $c_0>1$

a. while ( ) $c_0>c_r$
- Incremento $c_r$
si. $r = r + 1$

Ahora para el análisis: la primera observación es que el número de contadores positivos es . $r$

Ahora dejemos que sea el valor máximo que han alcanzado . Para obtenemos . Para obtenemos , o en general $m_r$ $c_{r}$ $r=T$ $M(1-\frac{1}{T})$ $r=T+1$ $m_r(1-\frac{1}{T})=M(1-\frac{1}{T})^2$

\forall r \geq T : m_{r} = M (1 - \frac{1}{T})^{r - T + 1}

$\forall r\geq T:m_r = M(1-\frac{1}{T})^{r-T+1}$

Luego notamos que cuando se alcanza , . Esto significa que el ciclo se detendrá cuando (dar o tomar integralidad y estrategias de fin de juego). $\forall m_r$ $c_0=m_r$ $m_r < 1$

Esto nos da

M (1 - \frac{1}{T})^{r - T + 1} < 1

$M(1-\frac{1}{T})^{r-T+1} < 1$

(1 - \frac{1}{T})^{r - T + 1} < M^{- 1}

$(1-\frac{1}{T})^{r-T+1} < M^{-1}$

(r - T + 1) \log (1 - \frac{1}{T}) < - \log M

$({r-T+1}) \log (1-\frac{1}{T}) < -\log M$

r - T + 1 < \frac{- \log M}{\log (1 - \frac{1}{T})}

${r-T+1} < \frac{-\log M}{\log (1-\frac{1}{T})}$

r < \frac{- \log M}{\log (1 - \frac{1}{T})} + T - 1

$r < \frac{-\log M}{\log (1-\frac{1}{T})} + T - 1$

r < \frac{\log M}{\sum_{k \geq 1}^{\infty} \frac{1}{k T^{k}}} + T - 1 < T (\log M + 1) - 1

$r < \frac{\log M}{\sum_{k\geq 1}^{\infty} {\frac{1}{kT^k}}} + T - 1 < T(\log M + 1) -1$

¿Es posible hacerlo mejor? ¿Alguien puede probar que esto es óptimo?

ds.algorithms board-games

— RB
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Límite inferior para la pregunta 2:

Teorema: después pasos de , con la estrategia descrita a continuación, tendrá al menos contadores positivos. $TM-1$ $(T-1)\log M$

Notación: Definir tiempo de la etapa a ser el comienzo de los pasos, y para ser el final. Las disminuciones ocurren en el paso de tiempo , . $1$ $TM-1$ $TM-1$ $Tk$ $1 \le k < M$

Defina que el límite superior sea , donde es el paso de tiempo actual. Este límite comienza en M y disminuye en uno cada vez que disminuyen los contadores, terminando en . Este límite se elige porque si alguna vez se colocan más contadores en una celda que el límite superior, se desperdiciarán, porque el contador tendrá un valor superior a en el paso . $M- \lfloor N/T \rfloor$ $N$ $1$ $1$ $TM-1$

Estrategia: en cada paso de tiempo, incremente el contador más a la izquierda cuyo valor es menor que el límite superior.

Notación: defina la importancia de que un contador sea , donde V es su valor actual y es el límite superior actual. $V/UL$ $UL$

Lema: en cada grupo de pasos que terminan en una disminución, la suma de las importancia de los contadores aumenta al menos , donde es el límite superior actual. $T$ $(T-1)/UL$ $UL$

Prueba de lema: cada vez que se incrementa un contador, su importancia aumenta en . Cuando ocurre la disminución, todos los contadores menos uno están en su límite superior y tienen una importancia de . La importancia del contador restante se reduce en como máximo , porque su valor disminuye en y no aumenta. Por lo tanto, los incrementos de y la disminución de aumentan la importancia total en al menos . Además, en el último grupo de incrementos de , donde no se produce disminución, la suma de importancias aumenta en . $1/UL$ $UL/UL=1$ $1/UL$ $1$ $UL$ $T$ $1$ $(T-1)/UL$ $T-1$ $(T-1)/UL$

Prueba del teorema: en cada grupo de pasos que terminan en decremento, y en los pasos finales , la suma de las importancias aumenta al menos en . Por lo tanto, después de pasos, la suma de importancias será de al menos , que es al menos . Como en el paso de tiempo el límite superior es , debe haber contadores positivos en este momento. $T$ $T-1$ $(T-1)/UL$ $TM-1$ $\sum_{k=1}^m(T-1)/k$ $(T-1)\log M$ $TM-1$ $1$ $(T-1)\log M$

— isaacg
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Aquí hay un límite superior para la pregunta 2.

Teorema: Después de $TM$ pasos, puede tener como máximo $T \log M$ contadores positivos.

Notación: asignamos cada paso un número, que termina con el $0$ ^º paso, y a partir de la^ésimo paso. $(-TM+1)$

Observación: en la estrategia óptima, si incrementa un contador, no lo deja volver a . $0$

Prueba: permítanos asignar un valor de a cada vez que incremente un contador en la última $1$ $T$ $\frac{1}{2}$ $T$ $\frac{1}{3}$ $T$ $-kT+1$ $-(k-1)T$ $\frac{1}{k}$

$1$

$T \sum_{i=1}^M \frac{1}{i} \approx T \log M$ $1$

$-kT$ $-(k-1)T$ $k-1$ $k$ $\frac{1}{k}$

$\frac{1}{k}$ $-kT+1$ $-(k-1)T$ $\frac{1}{M}$ $-2MT$ $-MT$ $0$ $0$ $-2MT$ $1$ $-2MT$ $1$ $M$ $T\log M + T$ $T (\log M + 1)$

— Peter Shor
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x

$x$

x

$x$

N

$N$

N = T M

$N=TM$

Ω (T \log M)

$\Omega(T\log M)$

— RB

O tal vez pueda dar un mejor límite. Gracias de nuevo.

— RB