Confusión sobre la reducción del conteo de cubiertas de vértices para el conteo de cubiertas

Esto me confunde

Un caso fácil de contar es cuando el problema de decisión está en y no hay soluciones. $P$

Una conferencia muestra que el problema de contar el número de coincidencias perfectas en un gráfico bipartito (equivalentemente, contar el número de cubiertas de ciclo en un gráfico dirigido) es -completo. $\#P$

Proporcionan una reducción desde el recuento de cubiertas de vértices de tamaño hasta el recuento de cubiertas de ciclo en un dígrafo utilizando dispositivos. $k$

Teorema 27.1 El número de cubiertas de buen ciclo en es veces el número de cubiertas de vértices de de tamaño . $H$ $(k!)^2$ $G$ $k$

Usando gadget dejan solo los ciclos "buenos".

Mi comprensión de la conferencia es que no tiene una cubierta de vértice de tamaño si el dígrafo transformado no tiene cubierta de ciclo. La comprobación de si tiene una cobertura de ciclo se puede hacer en tiempo polinómico, lo que implica ya que podemos transformar el problema de decisión en encontrar la solución. $G$ $k$ $G'$ $G'$ $P=NP$

¿Qué estoy malentendido?

$\#P$

$P$

$P \ne NP$ $NP$ $(0,1)$ $0 \mapsto 0$

Editar pregunta relacionada MO

Adicional

Markus Bläser señala que el ciclo malo todavía está "allí", pero la suma de sus pesos desaparece.

Me parece que el peso del ciclo malo en un widget es cero.

De la página 148 (11 del pdf):

La matriz de adyacencia completa B con submatrices A correspondientes a estos widgets de cuatro nodos cuenta 1 para cada cubierta de ciclo bueno en H y 0 para cada cubierta de ciclo malo

Otra pregunta:

$k$

En CC, cada vértice debe estar exactamente en un ciclo.

cc.complexity-theory graph-theory

— joro
fuente

No dejaron solo buenos ciclos. En su argumento de conteo, eliminaron contar ciclos malos. El problema es que tienes que contar las cubiertas de # buen ciclo. Entonces, si encuentra una cubierta de ciclo que no es una buena cubierta de ciclo, entonces no puede obtener una cubierta de k-vértice. Pero si encuentra una buena cobertura de ciclo, sí, el gráfico tiene k-VC. Esto no viola nada.

— Saeed

k

$k$

@Saeed ¿No están contando todas las cubiertas de ciclo en la G 'transformada?

— joro

La reducción asigna pesos a los bordes. Las cubiertas de ciclo defectuoso pueden tener un peso positivo o negativo, la contribución general es cero. Pero estos ciclos todavía están "allí" y pueden ser encontrados por un algoritmo de detección de cobertura de ciclo y en este caso no sabe si hay una buena cobertura de ciclo o no.

— Markus Bläser

@ MarkusBläser Gracias, esto tiene sentido :). ¿Por qué no contestar?

— joro

Parece que el malentendido es este:

En la reducción final a (0,1) permanente están usando aritmética modular, lo que rompe mi argumento.

$A$ $B$

$n$ $perm(A)=0$ $perm(B)=mn$

$n$ $B$

No he encontrado la falla en la pregunta sobre la cobertura máxima del ciclo ponderado, que no parece verse afectada por lo anterior.

— joro
fuente