¿El problema del conjunto dominante está restringido a gráficos bipartitos planos de grado máximo 3 NP-completo?

¿Alguien sabe acerca de un resultado de completitud NP para el problema DOMINATORIO SET en gráficos, restringido a la clase de gráficos bipartitos planos de grado máximo 3?

Sé que es NP completo para la clase de gráficos planos de grado máximo 3 (ver el libro de Garey y Johnson), así como para gráficos bipartitos de grado máximo 3 (ver M. Chlebík y J. Chlebíková, "Dureza aproximada de dominando problemas de conjunto en gráficos de grados acotados "), pero no se pudo encontrar la combinación de ambos en la literatura.

cc.complexity-theory graph-theory

— Florent Foucaud
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La próxima vez, enlace a la publicación original si realiza una publicación cruzada. mathoverflow.net/questions/43720/… . Consulte también nuestra entrada de preguntas frecuentes sobre la publicación cruzada .

— Tsuyoshi Ito

(1) ¿Se sabe algo si aumenta 3 a alguna otra constante? (2) ¿Se sabe algo sobre el caso especial en el que "grado máximo 3" se restringe aún más a "3-regular"? (¿Se sabe que está en P? ¿Se sabe que es equivalente al caso de grado máximo 3?) (3) Por curiosidad, ¿hay alguna aplicación de esto, o le interesa únicamente por sí mismo? (Por si acaso, no estoy diciendo que un problema sin una aplicación sea malo. Lo pregunto porque si tiene alguna aplicación, puede hacer que la pregunta sea más interesante.)

— Tsuyoshi Ito

(1) No que yo sepa (2) No. Pero también espero que sea difícil (3) La única aplicación para mí sería obtener la dureza NP de algunos otros problemas en esta misma clase, realmente restringida. gráficos

— Florent Foucaud

¿Qué sucede si simplemente hace lo siguiente? Dado un gráfico , construya otro gráfico subdividiendo cada borde de en 4 partes; aquí es el conjunto de nuevos nodos que presentamos, y . $G = (V,E)$ $G' = (V \cup U, E')$ $G$ $U$ $|U| = 3|E|$

El gráfico es bipartito. Además, si es plano y tiene máx. grado 3, entonces también es plano y tiene máx. grado 3. $G'$ $G$ $G'$

Sea un conjunto dominante (mínimo) para . Considere una arista que se subdividió para formar una ruta en . Ahora claramente al menos uno de está en . Además, si tenemos más de uno de en , podemos modificar $D'$ $G'$ $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $G'$ $a,b,c$ $D'$ $a,b,c$ $D'$ para que siga siendo un conjunto dominante válido y su tamaño no aumente. Por ejemplo, si tenemos y , igualmente podemos eliminar de y agregar a . De ahí wlog tenemos. $D'$ $a \in D'$ $c \in D'$ $c$ $D'$ $y$ $D'$ $|D' \cap U| = |E|$

Entonces considere . Suponga que y . Entonces debemos tener un nodo tal que . Por lo tanto, hay una arista tal que tenemos una ruta en $D = D' \cap V$ $x \in V$ $x \notin D'$ $a \in D'$ $(x,a) \in E'$ $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $G'$ . Como y $a,b,c \in U$ , tenemos , y para dominar debemos tener . Por lo tanto en nodo es un vecino de con . Es decir, es un conjunto dominante de . $a \in D'$ $b, c \notin D'$ $c$ $y \in D'$ $G$ $y$ $x$ $y \in D$ $D$ $G$

Por el contrario, considere un (mínimo) que domina conjunto de . Construya un conjunto dominante para para que como sigue: Para un borde que fue subdividido para formar una trayectoria en , se añade a $D$ $G$ $D'$ $G'$ $|D'| = |D| + |E|$ $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $G'$ $a$ si e ; agregamos a si e ; y de lo contrario agregamos a . Ahora se puede comprobar que es un conjunto dominante para : por construcción, todos los nodos en están dominados. Ahora dejemos . Entonces hay una tal que $D'$ $x \notin D$ $y \in D$ $c$ $D'$ $x \in D$ $y \notin D$ $b$ $D'$ $D'$ $G'$ $U$ $x \in V \setminus D'$ $y \in V$ , y por lo tanto a lo largo del camino tenemos , que domina . $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $a \in D'$ $x$

En resumen, si tiene un conjunto dominante de tamaño , entonces tiene un conjunto dominante de tamaño como máximo , y si tiene un conjunto dominante de tamaño , entonces tiene un conjunto dominante de tamaño como máximo . $G$ $k$ $G'$ $k + |E|$ $G'$ $k + |E|$ $G$ $k$

Editar: se agregó una ilustración. Arriba: el gráfico original ; centro: gráfico con un conjunto dominante "normalizado"; abajo: gráfico con un conjunto dominante arbitrario. $G$ $G'$ $G'$

An example

— Jukka Suomela
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Buena respuesta.

— Mohammad Al-Turkistany

Gracias, eso responde muy bien a mi pregunta (incluso sin las imágenes bonitas;)) ¿Alguien sabe de una referencia en la que se estudian otros problemas de gráficos NP-hard (clásicos) (por ejemplo, cubierta de vértice u otros problemas de dominación) en gráficos planos bipartitos de grado acotado? Creo que eso debería ser interesante.

— Florent Foucaud

Si responde la pregunta, tal vez debería considerar aceptar la respuesta ... :) Con respecto a otros problemas, la cobertura de vértices es fácil en cualquier gráfico bipartito . Pero supongo que los conjuntos dominantes de borde podrían ser un problema natural para estudiar en este entorno.

— Jukka Suomela

Ok, gracias por recordarme el teorema de König y marcar la casilla verde;)

— Florent Foucaud

Respuesta sólida Jukka!

— Gabriel Fair