Problemas polinomiales en clases de grafos definidos por subgrafías cíclicas inducidas prohibidas

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Cruzado desde MO .

Sea una clase gráfica definida por un número finito de subgrafías inducidas prohibidas, todas las cuales son cíclicas (contienen al menos un ciclo). $C$

¿Hay problemas de gráficos NP-hard que se puedan resolver en tiempo polinómico para no sean Clique y Clique cover? $C$

Si no recuerdo mal, esto es imposible para un conjunto independiente (a menos que ). $P=NP$

La búsqueda en graphclasses.org no encontró ninguna.

Una clase para la cual Clique y Clique cover son polinomiales es C5, C6, X164, X165, sunlet4, sin triángulo

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Negativo para IS y Dominación se encuentra en este documento . Página 2, los gráficos . $S_{i,j,k}$

— joro
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En Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer, Graph Isomorphism for Graph Classes Characterized by Forbidden Induced Subgraphs : GI es tiempo polinomial (trivial) solucionable para , pero también (menos trivialmente) para gráficos.

(K_{s}, I_{t}) -free

$(K_s, I_t)\text{-free}$

(K_{s}, K_{1, t}) -free

$(K_s, K_{1,t})\text{-free}$

— Marzio De Biasi

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Quizás sea mejor tener en cuenta en la pregunta sobre MO la publicación cruzada también, si alguien allí está interesado, les gustaría ver las respuestas / comentarios aquí.

— RB

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@MarzioDeBiasi, ¿por qué no convertir su comentario para responder?

— Saeed

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Creo que hay una serie de problemas difíciles que se vuelven fáciles para los gráficos sin triángulos; especialmente aquellos que tratan directamente con triángulos como Partición en triángulos (¿G tiene una partición en triángulos?). Otros ejemplos menos triviales incluyen:

Problema de conjunto estable (¿Tiene G un conjunto independiente S tal que GS esté desconectado?). Ver: En sutsets estables en gráficos, Matemática aplicada discreta. 105 (2000) 39-50.
Base del gráfico de intersección (¿Es G el gráfico de intersección de subconjuntos de un conjunto de tierra de elemento k?). Ver: Problema [GT59] en: Garey & Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness.

— Mon Tag
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Aquí hay algunos ejemplos adicionales de la respuesta de Mon Tag:

El problema del conjunto desconectado (¿Admite un conjunto de vértices tal que y el subgrafo de inducido por están desconectados?) Es NP completo (ver aquí ). Es fácil ver que este problema es polinomialmente solucionable para gráficos libres de triángulos (de ahí también el problema de Stable Cutset como lo menciona Mon Tag). $G$ $S$ $G-S$ $G$ $S$
Reconocer los gráficos de líneas triangulares es NP-completo (ver aquí ). También es fácil ver que este problema se vuelve polinómico para los gráficos de entrada sin triángulos.
Calcular la coincidencia máxima conectada es difícil (ver aquí . Una coincidencia está conectada si, para cualquier par de bordes coincidentes, hay otro borde del gráfico incidente para ambos). Se puede demostrar que este problema es polinomialmente solucionable para . $(C_3, C_4, C_5)$

— vb le
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Gracias. Entonces, algunos problemas siguen siendo difíciles y otros no.

— joro

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Del comentario anterior: en Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer, Graph Isomorphism for Graph Classes Characterized by Two Forbidden Induced Subgraphs : GI es polinomial time (trivialmente) solucionable para , pero también (menos trivialmente) para . $(K_s,I_t)\text{-free}$ $(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

EDITAR : como se señaló en el comentario, no contiene un ciclo (leí la introducción del documento demasiado rápido). $K_{1,t}$

Después de pensarlo un poco, parece fácil probar lo siguiente (¿original?):

RESULTADO NEGATIVO: para cada conjunto finito en el que cada contiene un ciclo, el problema del isomorfismo gráfico (GI) está restringido a la clase de son GI completos. $\{H_1,...H_k\}$ $H_i$ $\mathcal{C}$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$

Prueba: Se una clase de gráficos en la que cada contiene un ciclo, y dado , sea la longitud del ciclo más largo de los s. Reemplace cada borde de con una ruta de longitud agregando nuevos nodos (vea la figura a continuación) . Por construcción, los nuevos gráficos son hecho, los ciclos más cortos posibles son aquellos formados por un triángulo que debe tener una longitud de $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$ $G_1,G_2$ $r$ $H_i$ $(u,v)$ $G_1,G_2$ $l = \lceil r/3 \rceil$ $l$ $(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$ $G'_1, G'_2$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$ ; y es fácil demostrar que son isomorfos si y solo si el original son isomorfos. $G_1,G_2$

ingrese la descripción de la imagen aquí
Figura : un gráfico a la izquierda, y el equivalente gráfico a la derecha (suponer que el ciclo más largo de la tiene longitud , por lo cada borde de se reemplaza con una ruta de longitud . $G_1$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $G'_1$ $H_i$ $r=15$ $G_1$ $l = 5$

También podemos extender el resultado negativo al problema NPC del ciclo hamiltoniano, de hecho es un corolario inmediato de lo siguiente (¿original?):

Teorema : para cualquier , el problema del ciclo de Hamilton sigue siendo NP completo incluso si el gráfico no contiene ciclos de longitud . $k \geq 3$ $G$ $\leq k$

Prueba Sabemos que el problema del ciclo de Hamilton es NPC incluso en un gráfico plano dirigido con cada nodo satisfactorio: (Papdimitriou y Vazirani, en dos problemas geométricos relacionados con el problema del vendedor ambulante ) Podemos transformar el gráfico en un gráfico indirecto simplemente agregando un nodo en el borde entrante de los nodos que tienen , y en el borde saliente de los nodos que tienen . Entonces podemos reemplazar los nodos de con el gadget en la figura a continuación. Es fácil ver que solo hay dos recorridos válidos ( $G$ $v$ $outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$ $G$ $G'$ $v$ $indeg(v )=1$ $v$ $indeg(v)=2$ $G'$ zigzags ) que visitan cada nodo del gadget exactamente una vez (rutas rojas y verdes en la figura): los gadgets no se pueden atravesar de arriba a abajo; de lo contrario, la ruta horizontal (entrante o saliente) se cortaría. Además, podemos colocar suficientes nodos en los segmentos verticales / horizontales de los gadgets, y extender el número de sus zigzags, para asegurar que no sea posible ningún ciclo de longitud en el gadget o en un triángulo de 3 gadgets unidos entre sí. Esto asegura que si el gráfico resultante tiene un ciclo hamiltoniano, entonces el gráfico original también tiene un ciclo hamiltoniano (lo contrario es inmediato por la construcción del dispositivo). $\geq k$ $G''$ $G$

ingrese la descripción de la imagen aquí

Corolario: los problemas de ciclo y ruta de Hamilton siguen siendo NP completos incluso si están restringidos a gráficos , donde cada contiene un ciclo. $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$

— Marzio De Biasi
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Gracias. es árbol, por lo que no es cíclico o me falta algo.

K_{1, t}

$K_{1,t}$

— joro

¡Tienes razón! Se me ocurrió un resultado negativo ... vea si puede funcionar, o si está completamente equivocado: -S: -S

— Marzio De Biasi

Gracias. ¿Entonces obtuviste un supuesto resultado negativo para el ciclo GI Y Hamiltoniano?

— joro

Espero que esto sea correcto, esto resolverá muchos problemas desconocidos para graphclasses.org.

— joro

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Solo un punto crítico, cada ciclo debe ser algo así como donde es un grado de vértice , de lo contrario, su parte iff no es necesariamente correcta, puede ser son isomorfas pero no .

(m + 1) d_{i}

$(m+1)d_i$

d_{i}

$d_i$

i

$i$

G_{1}, G_{2}

$G_1,G_2$

G_{1}^{'}, G_{2}^{'}

$G'_1,G'_2$

— Saeed

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MAX-CUT permanece NP-completo.

Lemma 3.2 simple max-cut es NP-complete en las siguientes dos clases de gráficos:

gráficos que no contienen ciclos de longitud como máximo , para cada . $k$ $k \ge 3$

Están subdividiendo un borde dos veces.

De "MAX-CUT y relaciones de contención en gráficos, Marcin Kaminski"

— joro
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Pero pediste problemas resueltos en tiempo polinómico, ¿verdad?

— Peng O

@PengO de hecho, pero este es un resultado negativo, por lo que es imposible ser polinomial. Otra respuesta también muestra resultados negativos.

— joro