La dureza salta en la complejidad computacional?

El problema del ancho de banda mínimo es encontrar un orden de los nodos del gráfico en la línea entera que minimiza la mayor distancia entre dos nodos adyacentes. Una oruga es un árbol formado a partir de la ruta principal mediante el crecimiento de rutas de longitud disjuntas de borde a lo sumo desde sus nodos ( se llama longitud del cabello). El problema del ancho de banda mínimo está en para las orugas de 2 pero es completo para las orugas de 3.$k$$k$$k$$P$$NP$

Aquí hay un hecho muy interesante, el problema del ancho de banda mínimo se puede resolver en tiempo polinómico para orugas 1 (longitud del cabello como máximo) pero es completo para orugas 1 cíclicas (en oruga cíclica, se agrega un borde para conectar los puntos finales del camino principal). Por lo tanto, la adición de exactamente un borde hace que el problema sea completo.$NP$$NP$

¿Cuál es el ejemplo más sorprendente del salto de dureza del problema en el que una pequeña variación de la instancia de entrada provoca un salto de complejidad desde la capacidad de resolución en tiempo polinómico hasta la completitud ?$NP$

Uno de los ejemplos aplicados más interesantes de saltos de dureza se puede observar en el siguiente problema:

Considere un campeonato de la liga de fútbol con equipos: el problema de decidir si un equipo determinado puede (todavía) ganar la liga está en si en un partido, el equipo ganador recibe 2 puntos, el perdedor 0 y cada equipo recibe 1 punto en un partido de empate. Pero si cambiamos las reglas para que el equipo ganador obtenga 3 puntos, el mismo problema se convierte en duro.P N $n$$P$$NP$

El resultado puede generalizarse para cualquier regla de punto para cada e incluso para solo tres rondas restantes.k > $(0, 1, k)$$k > 2$

Fuente: "Teoría de la complejidad" por Ingo Wegener ( http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1076319 )

Esto responde la pregunta que se hace en el título de la pregunta, pero no la que se hace en la pregunta.

Un ejemplo sorprendente de salto en dureza surge de la pregunta: "¿Cuántas tareas satisfactorias tiene una fórmula plana, módulo ?" Se pensó ampliamente que esto era # P-hard, y es para "la mayoría" de los valores de , pero si es un número entero de Mersenne (por ejemplo , porque 7 es de forma ), entonces el La respuesta se puede calcular en tiempo polinómico.n n n = 7 2 3 - $n$$n$$n$$n=7$$2^3-1$

Esto fue descubierto por primera vez por Valiant, en su innovador artículo Algoritmos holográficos.

INDEPENDENT SET es NP-complete para gráficos sin cruz (triángulo) , pero se puede resolver en tiempo lineal para gráficos sin silla (triángulo) . (Los gráficos sin X son aquellos que no contienen ningún gráfico de X como un subgrafo inducido).

silla: triángulo: cruz:

Observe que la cruz se obtiene de la silla agregando un solo borde.

No estoy seguro de estar de acuerdo con su caracterización de que agregar un solo borde a la entrada hace que el problema sea NP completo, ya que uno realmente permite que se agregue un borde a cada una de las infinitas instancias de entrada.

Aquí hay un ejemplo de un problema que muestra una dicotomía aguda a lo largo de las líneas que sugiere.

El problema de determinar si existe un homomorfismo gráfico desde el gráfico de entrada G hasta un gráfico de plantilla fijo H está en P cuando H es un gráfico con un bucle automático o es un gráfico sin bucle bipartito. Cuando H no es bipartito (esto a menudo se puede lograr agregando un solo borde), entonces el problema se vuelve NP completo.

• P. Hell y J. Nešetřil, Complejidad de la coloración H , J. Comb. Th. B 48 92-110, 1990. doi: 10.1016 / 0095-8956 (90) 90132-J

La clave aquí es que 2 colores están en P (esto corresponde a un homomorfismo a , el camino en 3 vértices), mientras que 3 colores son NP completos (esto corresponde a un homomorfismo a K 3 , el triángulo).$P_3$$K_3$

Aquí hay otro ejemplo interesante, planteado en la detección inducida de subgrafía:

Un theta es un gráfico con vértices no adyacentes $x,y$ , tres caminos $P_1, P_2, P_3$ de $x$ a $y$ , donde cualquiera de los dos caminos induce un ciclo con una longitud mayor que 3.

Una pirámide es un gráfico con un vértice $x$ , un triángulo $y_1,y_2,y_3$ , y rutas $P_i$ de $x$ a $y_i$ para cada $i=1,2,3$ , con a lo sumo una ruta con longitud uno.

Finalmente, un prisma es un gráfico con dos triángulos $x_1,x_2,x_3$ e $y_1,y_2,y_3$ , y las rutas $P_i$ de $x_i$ a $y_i$ para cada $i=1,2,3$ .

Es fácil de describir en las figuras:

Para detectar la theta y la pirámide inducidas, se sabe que se encuentra en tiempo polinómico. (De hecho, el algoritmo más conocido para theta toma $O(n^{11})$ tiempo, y para la pirámide toma $O(n^9)$ . Pero para detectar un prisma inducido, el problema se vuelve NP-difícil.

Se puede ver " Detección de subgrafías inducidas " por Leveque, Lin, Maffray y Trotignon como referencia. La razón por la que theta y la pirámide son relativamente fáciles está relacionada con el problema de "tres en un árbol", descrito en " El problema de tres en un árbol " por Chudnovsky y Seymour.

er ... estoy seguro de que estás buscando ejemplos menos triviales ... pero me gustaría señalar que hay algo especial en el número vs 3 . 2 - S A T a 3 - S A T , 2 - C O L vs 3 - C O L , etc. Intuitivamente, siempre pensé que era porque un nodo con como máximo 2 aristas puede formar como máximo una línea, pero un nodo con 3 aristas puede formar un árbol, cuando nos movemos de 2-3 obtenemos una explosión combinatoria.$2$$3$$2-SAT$$3-SAT$$2-COL$$3-COL$

Creo que no tiene mucho sentido hablar de instancias. Podemos hablar sobre dos distribuciones de instancias de entrada con diferentes dificultades, pero sería más interesante si existe una relación entre la distribución, o entre instancias en las distribuciones.

Podemos considerar una familia de distribuciones parametrizadas y luego hablar sobre lo que sucede cuando cambiamos el parámetro. Quizás le interese lo que se llama el fenómeno umbral , "donde un sistema sufre un cambio cualitativo rápido como resultado de un pequeño cambio en un parámetro ...". Eche un vistazo a esta encuesta: Ehud Friedgut , "En busca de umbrales agudos ", Algoritmos de estructuras aleatorias 26, 2005.

Creo que uno de los ejemplos más llamativos y hermosos es el k-SAT aleatorio con densidad de cláusula , la transición de fase es realmente sorprendente.$\Delta$

Inferencia de tipos para los términos lambda es DEXPTIME-completo con prenex y rango-2 sistemas de tipo polimórfico (cuando cuantificadores tipo están anidados a lo más un nivel profundo), pero se vuelve undecidable Ranking-3 y superior. Es extraño que un nivel de anidación adicional pueda hacer que un problema sea indecidible.

Encontrar el estado fundamental del modelo de Ising plano con un campo magnético 0 está en P, con un campo magnético distinto de cero es NP-duro. La función de partición del modelo Ising plano con un campo magnético 0 está en P, con un campo magnético distinto de cero es NP-duro.

Aquí hay un buen problema con un salto de complejidad interesante como Ancho de banda mínimo que abordó en su pregunta.

Deje un grafo y T un árbol de expansión de G . El desvío de un borde u v ∈ E ( G ) es la única u - v trayectoria en T . La congestión de e ∈ E ( T ) , denotada por c n g G , T ( e ) es el número de desvíos que contienen e . La congestión de G en T , denotada por c n g$G$$T$$G$$uv\in E(G)$$u$$v$$T$$e \in E(T)$$\mathrm{cng}_{G,T}(e)$$e$$G$$T$ , es la congestión máxima sobre todos los bordes en T . La congestión del árbol de expansión de G , denotado por s t c ( G ) , es la mínima congestión de todos los árboles que abarcan de G . El problema de la congestión de árbol de expansión pregunta si un gráfico dado tiene congestión de árbol de expansión como máximo alguna k dada.$\mathrm{cng}_G(T)$$T$$G$$\mathrm{stc}(G)$$G$$k$

El siguiente salto de complejidad se muestra en: Bodlaender et al., Complejidad parametrizada del problema de congestión de Spanning Tree , Algorithmica 64 (2012) 85–111 :

Por cada fijo y d el problema es resoluble en tiempo lineal para gráficos de grado en la mayoría d . Por el contrario, si permitimos solo un vértice de grado ilimitado, el problema se convierte inmediatamente en N P -completo para cualquier k ≥ 8 fijo .$k$$d$$d$$\mathsf{NP}$$k\ge 8$

Me pregunto por qué nadie mencionó esto:

Horn-Sat vs K-Sat

Supongo que todos saben lo que es. Si no:

Horn-Sat es encontrar si un conjunto de cláusulas de claxon es satisfactorio (cada cláusula tiene como máximo 1 literal positivo).

K-Sat es encontrar si un conjunto de cláusulas es satisfactoria (cada cláusula puede tener más de 1 literales positivos).

Entonces, permitir más de un literal positivo en cada cláusula hace que el problema de P-complete NP-complete.

Coloración gráfica

Como se mencionó en otra respuesta, 2-COL es solucionable en tiempo polinómico mientras que 3-COL es NP-completo. Pero al aumentar el número de colores, después de algún punto (¿desconocido?), El problema se vuelve más fácil.

Por ejemplo, si tenemos N vértices y N colores, el problema puede resolverse asignando un color diferente a cada vértice.

En una vena similar: permanente vs determinante.

Acabo de leer un artículo que trata sobre particiones hipergráficas . El problema se define así, cita:

$k$$l$$1 \leq l < k$$P^l_k$$\mathcal{H} = (V, \mathcal{E})$$t_1, \dots, t_k$$|V| = n = \sum^k_{i=1} t_i$$|\mathcal{E}| = m$$V$$k$$t_1, \dots, t_k$$\mathcal{E}$$l$

En general, está comprobado que:

• $P^1_k$$n,m$$k \geq 2$
• $P^l_k$$2 \leq l < k$

Si esto no es suficiente para "saltar", sigue leyendo. Para las hipergrafías con hiperedges disjuntas, se muestra:

• $P^1_k$$k \geq 2$
• $P^l_k$$m$$2 \leq l < k$

Laurent Lyaudet. 2010. NP-hard y variantes lineales de partición hipergráfica. Theor Comput Sci. 411, 1 (enero de 2010), 10-21. http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2009.08.035

Se conocen saltos de complejidad interesantes por el problema de programación del taller.

$n$$M$$m$$j$$\mu_j$$O_{1j},O_{2j},\dots,O_{\mu_jj}$$O_{ij}$$p_{ij}$$m_{ij}\in M$$C_j$$j$

$C_{max}=max_jC_j$$\sum C_j$

$J||\gamma$$\gamma$

$J2|n=k|F$$J|n=2|F$$J2$ $(n=k)$$2$ $(k)$$F$

$J3|n=3|C_{max}$$J3|n=3|\sum C$

$J2||C_{max}$$J2||\sum C$

Por lo tanto, aquí podemos ver que hay un salto cuando pasamos de dos trabajos / máquinas a tres.

$\ln n$$(1-o(1))\ln n$

$2^n$$2^n$$(a+b)^n=\sum_{i\in{0..n}}{{n}\choose{i}}a^ib^{n-i}$$p_b(a)$$a=b=1$$2^n=p_1(1)$$DTIME(2^n)$$(k<n)$$P=NP=DTIME(2^n)$$P=NP$