¿Contando el número de ciclos hamiltonianos en gráficos cúbicos hamiltonianos?

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Es duro encontrar una aproximación de factor constante del ciclo más largo en gráficos hamiltonianos cúbicos. Los gráficos hamiltonianos cúbicos tienen al menos dos ciclos hamiltonianos. $NP$

¿Cuáles son los límites superior e inferior más conocidos en el número de ciclos hamiltonianos en gráficos hamiltonianos cúbicos? Dado un gráfico hamiltoniano cúbico, ¿cuál es la complejidad de encontrar el número de ciclos hamiltonianos? ¿Es # duro? $P$

cc.complexity-theory counting-complexity

— Mohammad Al-Turkistany
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Contar circuitos hamiltonianos en un gráfico hamiltoniano de 3 regulares es # P-completo, como sigue.

Bosquejo de prueba . La membresía en #P es trivial, por lo que solo mostraremos la dureza # P.

La sección 3 de Liśkiewicz, Ogihara y Toda [LOT03] muestra que contar circuitos hamiltonianos en un gráfico 3-regular (y de hecho plano al mismo tiempo) es # P-completo. Además, su reducción de # 3SAT asigna una fórmula 3CNF satisfactoria a gráficos hamiltonianos. Por lo tanto, puede reducir # 3SAT a contar circuitos hamiltonianos en un gráfico hamiltoniano de 3 regulares agregando primero una solución trivial a una fórmula 3CNF dada y luego reduciéndola a contar circuitos hamiltonianos utilizando la reducción en [LOT03]. QED .

[LOT03] Maciej Liśkiewicz, Mitsunori Ogihara y Seinosuke Toda. La complejidad de contar caminatas que se evitan en subgrafías de cuadrículas bidimensionales e hipercubos. Informática teórica , 304 (1–3): 129–156, julio de 2003. http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

— Tsuyoshi Ito
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Buena respuesta. ¿Conoce algún límite superior o límite inferior en el número de ciclos hamiltonianos en gráficos cúbicos hamiltonianos?

— Mohammad Al-Turkistany

1

\leq_{r-shift}^{p}

$\le^p_{\text{r-shift}}$

23

$2^{3n/8}$ $2^{n/3}$ $2^{n/3}$ $1.276^n$

$2^{n/2}$

— David Eppstein
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Gracias David por la buena respuesta, desearía poder aceptar más de una respuesta.

— Mohammad Al-Turkistany

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Algunos gráficos tienen exactamente tres circuitos hamiltonianos:

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract

Si uno comienza con el gráfico plano del tetraedro, que contiene exactamente tres circuitos hamiltonianos, y crea un nuevo gráfico plano de 3 conexiones truncando un solo vértice, se obtiene un nuevo gráfico que tiene exactamente tres circuitos hamiltonianos. Si uno continúa truncando un vértice a la vez, obtiene una familia de gráficos con exactamente tres circuitos hamiltonianos.

Comentario adicional:

También se ha trabajado en la cuestión de qué gráficos distintos de los ciclos tienen exactamente un circuito de hamiltonion:

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract

Una muy buena encuesta sobre circuitos hamltionianos en tipos especiales de gráficos que tiene una sección que trata con números de circuitos hamiltonianos, y corrige algunos problemas con el documento anterior es:

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf

— Joseph Malkevitch
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