¿Tenemos algún circuito uniforme no trivial?

Dado un algoritmo que se ejecuta en el tiempo , podemos convertirlo en una familia de circuitos uniforme "trivial" para el mismo problema de tamaño como máximo . $t(n)$ $\approx t(n)\log t(n)$

Por otro lado, podría ser que tengamos circuitos uniformes mucho más pequeños para ese problema, incluso si es un tiempo de funcionamiento óptimo. Los circuitos pueden tardar más de en generarse, pero son pequeños. $t(n)$ $t(n)$

Pero, ¿sabemos realmente cómo construir tales cosas? Creo que la pregunta inicial es

(1) ¿Tenemos ejemplos constructivos de circuitos uniformes no triviales, es decir , circuitos uniformes cuyo tamaño es menor que el tiempo de ejecución más conocido de cualquier algoritmo para el mismo problema?

Ahora, creo que si hay un problema en , entonces tenemos un algoritmo de tiempo exponencial para encontrar circuitos óptimos usando una búsqueda exhaustiva: dado , escribimos las respuestas en los entradas (toma tiempo ); luego enumeramos todos los circuitos en entradas en tamaño creciente hasta que se encuentre uno que dé todas las respuestas correctas. La búsqueda termina en el tamaño de la conversión trivial, $\mathsf{DTIME(t(n))}$ $n$ $2^n$ $(2^n)t(n)$ $n$ , o la tabla de verdad de la función, si las salidas son . (Editar: Thomas señala que el límite es debido a Shannon / Lupanov). $t(n) \log t(n)$ $2^n$ $\{0,1\}$ $O(2^n/n)$

Entonces, tenemos un "sí" insatisfactorio a la pregunta (1): tome un lenguaje que sea difícil por más de , pero que todavía sea decidible; el procedimiento anterior genera una tabla de verdad de tamaño . $2^n$ $2^n$

Entonces debemos refinar la pregunta (1). Creo que los dos casos más interesantes son

(2) ¿Tenemos algún ejemplo constructivo de circuitos uniformes no triviales de tamaño polinómico ? (Incluso si son generados por algoritmos muy lentos).

(3) ¿Tenemos algún ejemplo constructivo de circuitos uniformes no triviales de tamaño polinómico generables en tiempo polinómico?

Esto puede ser demasiado pedir. ¿Qué tal una pregunta más fácil: ¿Sabemos siquiera que tal cosa es posible? ¿Quizás no existen circuitos uniformes no triviales?

(4) ¿Se sabe que la siguiente declaración es falsa para cualquier ? (Editar: , gracias Thomas.) "Si un lenguaje tiene circuitos uniformes de tamaño , también tiene algoritmos que se ejecutan en el tiempo . " (Si es así, ¿qué sucede cuando "uniforme" se reemplaza por "uniforme de tiempo polinómico", "uniforme de espacio de registro", etc.?) $s(n) = o(2^n)$ $o(2^n/n)$ $L$ $O(s(n))$ $\tilde{O}(s(n))$

Finalmente, si las preguntas anteriores son demasiado difíciles,

(5) ¿Tenemos alguna construcción de familias uniformes de circuitos que no sean simplemente conversiones de algoritmos en circuitos (o que anoten la tabla de verdad)?

Posdata. Un experto al que le pregunté sobre esto mencionó "Sobre uniformidad media y límites inferiores del circuito" ( pdf ), Santhanam y Williams 2013, que tal vez sea el trabajo más relacionado, pero demuestra los límites inferiores (que los circuitos de tiempo polivinílico no son demasiado poderoso) ¡Me interesaría cualquier otro trabajo relacionado!

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— usul
fuente

1,2,3,4: Función de identidad. 5. No está claro para mí lo que quieres decir con "ser una conversión de algoritmos en circuitos", siempre podemos convertir un circuito uniforme en una máquina de Turing (con una pequeña sobrecarga).

— Kaveh

@Kaveh, re # 5: Buen punto, pero supongo que lo que tengo en mente es alguien escribiendo una construcción explícita de circuitos uniformes, que no se ve como "convertir esta TM en un circuito". Además, creo que la conversión que mencionas podría no significar que el circuito "parezca" un algoritmo. Por ejemplo, supongamos que tenemos un circuito de tamaño

que tarda

veces en generarse. Podemos convertirlo en un time-

TM, está bien, pero no se parece mucho al circuito, y la conversión ingenua de ese TM nuevamente en un circuito ahora es de tamaño ~

. Espero que esto muestre por qué la pregunta me interesa.

n

$n$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

— usul

@Kaveh: ¿Cómo responde la función de identidad 1-4?

— Joshua Grochow

@Joshua, podemos describir directamente un circuito uniforme de tamaño (de cable) O (n), que es mejor que la conversión de la máquina de Turing para la identidad en un circuito.

— Kaveh

Mi punto es que hay pequeños detalles importantes que debemos preocuparnos para que la pregunta responda. Otro ejemplo: BPP está en P / poli y la conversión es computable. Si la generación del circuito se realiza mediante un algoritmo eficiente, combinarlo con el valor del circuito dará una TM eficiente. Conceptualmente, el circuito y la TM calculan el mismo algoritmo. El hecho de que el tamaño y el tiempo pueden no corresponder exactamente es normal, están definidos para diferentes modelos de cálculo y sabemos que no corresponden. Podría decirse que el tiempo corresponde más a la profundidad que al tamaño.

— Kaveh

Aquí hay respuestas a sus últimas dos preguntas.

(5) Las redes de clasificación son circuitos uniformes que se clasifican tan rápido como los mejores algoritmos de RAM, pero definitivamente no son solo conversiones de algoritmos de RAM (por ejemplo, clasificación rápida). [ AKS83 , G14 ]

$s(n)=(1+\varepsilon) \cdot 2^n/n$ $\varepsilon>0$ $(1+o(1)) \cdot 2^n/n$ $f$ $\Omega(3^n)$ $O(n \cdot 3^n)$ $f$ $O(2^n/n)$ $2^{\mathrm{poly}(n)}$ $\tilde{O}(2^n/n)$ $s(n) = o(2^n/n)$

Esta es una pregunta interesante; Espero que alguien pueda responder (1) - (3).

— Thomas apoya a Mónica
fuente

Gracias, tiene razón, intuitivamente quería descartar este caso de "límite superior" pero no conocía el asintótico correcto. He editado la pregunta para incluir ese caso.

— usul