Comprobando si un polinomio se convierte en factores lineales

Sea un polinomio dado por un circuito aritmético de tamaño . Dado como entrada, ¿existe un algoritmo determinista para verificar si todos los factores irreducibles de en son formas lineales? En una nota relacionada, dada una forma lineal $f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $C$ $s$ $C$ $f$ $\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $l=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}$ , ¿podemos verificar de manera determinista si $l$ es factor de $f$ . Por supuesto, queremos que el tiempo de ejecución sea polinómico en ambos casos. Por tamaño, nos referimos al tamaño total de bits. Además, se puede suponer que el grado de $f$ es polinomial en $n$ .

ds.algorithms algebraic-complexity arithmetic-circuits

— Gorav Jindal
fuente

Cuando dice "tamaño

s

$s$ ", ¿eso significa el número de puertas / cables, o el tamaño total de bits (teniendo en cuenta los bits utilizados para describir las constantes en el circuito)?

— Joshua Grochow

@ JoshuaGrochow, sí, el tamaño es el tamaño total de bits aquí.

— Gorav Jindal

Probablemente ya tenga en mente tres comentarios, pero por si acaso: 1. Con respecto al tiempo polinomial, los algoritmos de factorización para circuitos aritméticos son polinomiales en el tamaño y el grado del polinomio, y no conozco algoritmos para tareas relacionadas que se ejecutan en tiempo polinomio solo en el tamaño. 2. Con respecto al determinismo, estos algoritmos son aleatorios y las variantes deterministas se vuelven exponenciales en el número de variables. 3. La segunda pregunta puede traducirse en un problema PIT, por lo que su pregunta equivale a desrandomizar algún algoritmo PIT específico.

— Bruno

¡También agrego que encuentro estos problemas muy interesantes y me gustaría saber lo que ya se sabe sobre esto!

— Bruno

re PIT, prueba de identidad polinómica a través de Schwartz – Zippel / wikipedia y hay mucha investigación activa en esa área. (re que pg PIT se puede usar para factorizar enteros, pero ¿qué es una referencia que describe cómo usarlo para factorizar polinomios?)

— vzn

$f$ $f$

$\ell$ $\ell$ $f$

$f$ $f \bmod \ell$

— Ramprasad
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