Restricciones aleatorias y la conexión a la influencia total de las funciones booleanas.

Digamos que tenemos una función booleana y aplicamos restricción aleatoria δ en f . Además, supongamos que el árbol de decisión T que calcula f se reduce al tamaño O ( 1 ) como resultado de la restricción aleatoria. ¿Esto implica que f tiene una influencia total muy baja?$f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$$\delta$$f$$T$$f$$O(1)$$f$

Reclamación: Si la restricción aleatoria de f tiene un árbol de decisión de tamaño O ( 1 ) (en expectativa), entonces la influencia total de tal f es O ( δ - 1 ) .$\delta$$f$$O(1)$$f$$O(\delta^{-1})$

Bosquejo de prueba: por definición de influencia tenemos . Hagamos un límite superior de Pr x , i [ f ( x ) ≠ f ( x + e i ) ] aplicando primero una restricción δ , luego seleccionando i $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$ entre las coordenadas restantes, y arreglando al azar todo, excepto x i .$i \in [n]$$x_i$

Ahora, si la restricción reduce el árbol de decisión de f al tamaño O ( 1 ) , entonces, en particular, la restricción δ de f depende de r = O ( 1 ) coordinado. Elija ahora una coordenada no fija aleatoria (entre δ n ) y arreglemos todas las demás al azar. Dado que la restricción δ de f depende de la mayoría de las coordenadas r , obtenemos una función (en un bit) que no es constante con probabilidad como máximo $\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$ . Porlotanto,Inf(f)=n⋅Prx,i[f(x)≠f(x+ei)]≤$\frac{r}{\delta n}$ , según se requiera.$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

Observación: El reclamo anterior es estricto al tomar una función de paridad enbits O ( 1 / δ ) .$O(1/\delta)$