¿Una caracterización de profundidad fija de

Esta es una pregunta sobre la complejidad del circuito. (Las definiciones están en la parte inferior).

Yao y Beigel-Tarui mostraron que cada familia de circuitos de tamaño tiene una familia de circuitos equivalente de tamaño de profundidad dos , donde la puerta de salida es una función simétrica y el segundo nivel consiste de puertas de fan-in. Este es un "colapso de profundidad" bastante notable de una familia de circuitos: desde un circuito de profundidad 100 puede reducir la profundidad a 2, con solo una explosión cuasi-polinomial (y una puerta elegante pero aún restringida en la parte superior). $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$

Mi pregunta: ¿hay alguna forma conocida de expresar una familia de circuitos , de manera similar? Más ambiciosamente, ¿qué pasa con una familia de circuitos ? Las respuestas potenciales tendrían la forma: "Cada circuito de tamaño puede ser reconocido por una familia de profundidad dos de tamaño , donde la puerta de salida es una función de tipo y el segundo nivel de puertas tiene tipo " . $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

No tiene que ser de profundidad dos, cualquier tipo de resultado de profundidad fija sería interesante. Sería muy interesante demostrar que cada circuito puede representarse en profundidad 3 por un circuito que consta de solo compuertas de función simétrica. $TC^0$

Algunas observaciones menores:

Si la respuesta es trivial para cualquier función booleana (podemos expresar cualquier función como un de s). Para concreción, se requiere . $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
La respuesta también es trivial si o pueden ser una función arbitraria computable en ... :) Obviamente estoy interesado en funciones "más simples", sea lo que sea que esto signifique. Es un poco resbaladizo de definir porque hay familias de funciones simétricas que son irrebatibles. (Hay lenguajes unarios que son irrebatibles). Si lo desea, puede simplemente reemplazar e con funciones simétricas en la declaración, sin embargo, me interesaría cualquier otra opción ordenada de puertas. $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(Ahora para algunos breves recuerdos de notación:

$ACC^0$ es la clase reconocida por una familia de circuitos de profundidad constante de ventilador sin límites con compuertas , y para una constante independiente del tamaño del circuito. Una puerta devuelve si la suma de sus entradas es divisible por . $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

$TC^0$ es la clase reconocida por los circuitos de profundidad constante con puertas de abanico ilimitado. $MAJORITY$

es la clase reconocida por los circuitos de profundidad logarítmica conpuertas , , de abanico acotado. $NC^1$ $AND$ $OR$ $NOT$

Se sabe que cuando el tamaño del circuito está restringido a ser polinomial en el número de entradas). $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— Ryan Williams
fuente

Tenga en cuenta que un circuito de profundidad de tamaño polinómico

que consta de compuertas simétricas puede calcularse mediante un circuito de profundidad de tamaño polinómico

que consiste en compuertas MAJ. (Aquí, como siempre, el tamaño es el número de cables). Entonces, ¿básicamente se pregunta si

puede reducirse en profundidad a sí mismo?

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

¡Sí, esa es una forma de verlo! En general, estoy buscando simulaciones interesantes de profundidad fija de

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— Ryan Williams el

Ryan, no veo qué tipo de respuesta estás buscando aquí. Si realmente está hablando de puertas simétricas, entonces (ya que pueden simularse por mayoría en la profundidad dos) su pregunta es equivalente al colapso de TC0 a una profundidad constante (quizás con un ligero aumento súper polinomial de tamaño), un bien conocido problema abierto Si está dispuesto a "relajar" la simetría, ¿entonces el resultado de Barrington parece tan bueno como puede esperar?

— Noam

@Noam: me gustaría ver si hay otras respuestas interesantes; si no hay, entonces le daré los 300 a Lance. También hay posibilidades intermedias, por ejemplo, circuitos de profundidad tres con una función simétrica en la salida pero no necesariamente simétrica en las otras dos capas. De todos modos, hacer que lo pienses durante 5 minutos ya vale la recompensa de 300.

— Ryan Williams el

Y ahora (después del 8 de noviembre) sabemos el origen de esta pregunta ...

— Slimton

Aquí hay una ligera expansión de mi comentario a la respuesta de Boaz. Agrawal, Allender y Datta en su artículo On , , and Arithmetic Circuits $TC^0$ $AC^0$ dan una caracterización de en términos de circuitos aritméticos. A saber, muestran que un lenguaje está en si y solo hay una función en y un entero tal que $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

si y solo si . $x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

Tenga en cuenta que es una forma especial de circuito aritmético de profundidad constante sobre (solo se permiten las constantes 0 y 1, y las entradas variables pueden ser o ). $\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

Dado que, como señala Boaz en su respuesta, hay una reducción de profundidad no trivial para los circuitos aritméticos, esto podría ser algo a tener en cuenta.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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El teorema de Barrington debería obtener circuitos de profundidad de polietileno de tamaño 3 para con una puerta superior que no es demasiado extraña (multiplica 5 ciclos). $NC^1$

— Lance Fortnow
fuente

Estoy de acuerdo en que el teorema de Barrington implica algo interesante aquí. Pero esta puerta de salida es una función muy "no simétrica" :)

— Ryan Williams

En realidad, parece que obtienes un circuito de profundidad 1 ... Representando una permutación como (por ejemplo) una matriz booleana de 5x5, son solo proyecciones a la puerta de multiplicación de permutación.

— Noam

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— Boaz Barak
fuente

T C^{0}

$TC^0$

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

Kristoffer, ¿puedes agregar tu enlace como una respuesta separada? ¡Gracias!

— Ryan Williams el

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$